5?7??v??i?j48m?s?1(2)
?1?1?22r?(v0t?axt)i?aytj22?1?7?13?(?2?2???4)i?()?4j2821613?7???i?jm48
2-3 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv(k为常
数)作用，t=0时质点的速度为v0，证明(1) t时刻的速度为v＝
v0e?(k)tm；(2) 由0到t的时间内经过的距离为 )［1-e?(k)tmmv0x＝(kmv0()］；(3)停止运动前经过的距离为k；(4)
1证明当t?mk时速度减至v0的e，式中
m为质点的质量．
?kvdv?mdt
答: (1)∵
分离变量，得
dv?kdt?vma?t?kdtdv???v0v0m即
v
v?ktln?lnemv0
∴ v?v0e0(2)
(3)质点停止运动时速度为零，即t→∞，
k?mt
x??vdt??v0etk?mtkmv0?mtdt?(1?e)k
故有 (4)当
mt=kx???v0e0?k?mtdt?mv0k
时，其速度为
v?v0ekm?m?k?v0e?1?v0e1即速度减至v0的e.
2-4
?vm一质量为的质点以与地的仰角?=30°的初速0从地面抛
出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量． 解: 依题意作出示意图如题2-6图
题2-4图
在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下,
而抛物线具有对y轴对称性，故末速度与x轴夹角亦为30o，则动量的增量为
????p?mv?mv0
?mv由矢量图知，动量增量大小为0，方向竖直向下．
?F?(10?2t)i2-5 作用在质量为10 kg的物体上的力为N，式中t的
单位是s，(1)求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给
予物体的冲量．(2)为了使这力的冲量为200 N·s，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度??6jm·s-1的物体,回答这两个问题． 解: (1)若物体原来静止，则
??t?4??p1??Fdt??(10?2t)idt?56kg?m?s?1i00????p1?v1??5.6m?s?1im????1I1??p1?56kg?m?si
,沿x轴正向，
若物体原来具有?6m?s?1初速，则
,
????同理， ?v2??v1,I2?I1
这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理．
(2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即
0?tFt??????p0??mv0,p?m(?v0??dt)??mv0??Fdt0m0于是 t??????p2?p?p0??Fdt??p1I??(10?2t)dt?10t?t20t
亦即 t2?10t?200?0
解得t?10s，(t??20s舍去)
2-6
速时，它所受的合力为 F =(a?bt)N(a,b为常数)，其中t以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量．
解: (1)由题意，子弹到枪口时，有
F?(a?bt)?0,得
?1vm?s0一颗子弹由枪口射出时速率为，当子弹在枪筒内被加
t?ab
(2)子弹所受的冲量
ab代入，得
t1I??(a?bt)dt?at?bt202
将
t?(3)由动量定理可求得子弹的质量
???????2-7设F合?7i?6jN．(1) 当一质点从原点运动到r??3i?4j?16km?F时，求所作的功．(2)如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动能的变化．
?解: (1)由题知，F合为恒力，
???????A?F?r?(7i?6j)?(?3i?4j?16k) ∴ 合a2I?2b
Ia2m??v02bv0 ??21?24??45J
P?(2) (3)由动能定理，?Ek?A??45J
-1
2-8 如题2-18图所示，一物体质量为2kg，以初速度v0＝3m·s从斜面A点处下滑，它与斜面的摩擦力为8N，到达B点后压缩弹簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度．
解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原 长处为弹性势能零点。则由功能原理，有
?frs?12?1?kx??mv2?mgssin37??2?2?
A45??75w?t0.6
12mv?mgssin37??frs2k?12kx2
式中s?4.8?0.2?5m，x?0.2m，再代入有关数据，解得
k?1390N?m-1
题2-8图
再次运用功能原理，求木块弹回的高度h?
1?frs??mgs?sin37o?kx22
代入有关数据，得 s??1.4m,
则木块弹回高度
2-9 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞，试证碰后两小球的运动方向互相垂直． 证: 两小球碰撞过程中，机械能守恒，有
121212mv0?mv1?mv2222 h??s?sin37o?0.84m
即
①
22v0?v12?v2
题2-9图(a) 题2-9图(b) 又碰撞过程中，动量守恒，即有
???mv0?mv1?mv2
???v0?v1?v2亦即 ②
由②可作出矢量三角形如图(b)，又由①式可知三矢量之间满足
???vvv01勾股定理，且以为斜边，故知与2是互相垂直的． 2-10一质量为m的质点位于(x1,y1)处，速度为, 质点
受到一个沿x负方向的力f的作用，求相对于坐标原点的角动量
???v?vxi?vyj