2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)
专题17定积分与微积分基本定理
最新考纲
1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义.
基础知识融会贯通
1．定积分的概念
如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0 i1 i1 n n b－a f(ξi)，当n→∞时，上述和n ?baf(x)dx，即 n b ?af(x)dx＝lim∑ n→∞i＝1 式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作b－a f(ξi)． n 在?baf(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式． 2．定积分的性质 b(1)?bakf(x)dx＝k?af(x)dx(k为常数)； (2)?bf2(x)]dx＝?b?ba[f1(x)±af1(x)dx±af2(x)dx； cb(3)?baf(x)dx＝?af(x)dx＋?cf(x)dx(其中a 3．微积分基本定理 b一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么?af(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式． bb为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)|ba，即?af(x)dx＝F(x)|a＝F(b)－F(a)． 【知识拓展】 1．定积分应用的常用结论 当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零． 2．若函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有 a(1)若f(x)为偶函数，则?a－af(x)dx＝2?0f(x)dx. (2)若f(x)为奇函数，则?a－af(x)dx＝0. 重点难点突破 【题型一】定积分的计算 【典型例题】 函数为奇函数，则（ ） A．2 B．1 C． D． 【解答】解：由于函数为奇函数，则，得a＝1， 因此，故选：D． 【再练一题】 x ． 计算（cosx+e）dx为（ ） A．e B．e2 C．e D．e 【解答】解：故选：A． （cosx+e）dx＝（sinx+e） xx （）﹣（sin0+e）＝1 0 1． 思维升华 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分． (2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分． 【题型二】定积分的几何意义 命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分 【典型例题】 （π）dx＝ ． 【解答】解：依题意，（π）dx（）dx（﹣π）dx（）dx﹣ πx|而 （ （）dx﹣4π． 2 2 ）dx的几何意义为圆x+y＝4（y≥0）在x轴上方的面积， 所以（）dx﹣4π4π＝﹣2π． 故填：﹣2π． 【再练一题】 ，则T的值为（ ） A． B． C．﹣1 D．1 【解答】解：根据题意，Mdx的几何意义为半径为1的圆的的面积，则Mdx， 则Tsin2xdxcos2x； 故选：A． 命题点2 求平面图形的面积 【典型例题】 由直线A． B． 与曲线y＝sinx所围成封闭图形的面积为（ ） C． D． 【解答】解：作出对应的图象，