第3章 刚体力学基础

3-8 一长为2L的均匀薄窄平板,一端靠在摩擦略去不计的垂直墙壁上,另一端放在摩擦亦略去不计的水平地板上。开始时,木板静止并与地板成角?0,当松开木板后,木板下滑,试求木板脱离墙壁时,木板与地面间的夹角?为多大?

分析 木板运动可看成木板质心平动和绕质心的转动,木板下滑过程中,墙壁对其作用

力N1,N2不作功,机械能守恒,由此可得木板绕质心转动的角速度?与?角关系:

???(?)。对木板由质心运动定律结合???(?)可得N1或ax与?的关系。木板脱离墙

壁的条件为N1?0或ax?0,由此求得木板脱离墙壁时与地面的夹角?。

解 取板初始位置时的质心为坐标原点,建立坐标如图。对木板,由质心运动定理有

N1?max

要使木板脱离墙壁,则 即

N1?0

ax?0

木板在脱离墙壁前受到三个力作用;墙壁给板的作用力N1,地板给板的作用力N2和木板重力P?mg,如图所示。在任一时刻板质心的位置坐标为

x?L(cos??cos?0) y?L(sin?0?sin?)

(1) (2)

因此任一时刻板的质心速度vx、vy分别为

vx?dxd???Lsin???L?sin? dtdtdyvy???L?cos?

dt

(3) (4)

质心加速度在Ox轴上的分量为

ax?

dvxd?d???L?cos??Lsin? dtdtdt ??L?cos??Lsin?2

d? dt (5)

可取板和地球为研究系统,在板下滑过程中,除保守内力外,其余力均不作功,故系统的机

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械能守恒,有

mgy?1122m(vx?vy)?J?2 22其中

J?1m(2L)2 12112m?2L2?m?2L2?m?2L2 263将式(3)和式(4)代入上式,得

mgy?解出

??3gy 2L2将式(2)代入上式,得 故

??3g(sin?0?sin?)

2L (6)

d?3g??cos? dt4L (7)

将式(6)和式(7)代入式(5),有

ax??L ??3g(sin?0?sin?)3gcos??Lsin?(?cos?)

2L4L

g9sin?0cos??gsin?cos? 24当木板脱离墙壁时,ax?0,即

3g9sin?0cos??gsin?cos? 24sin??2sin?0 323于是

可得木板脱离墙壁时,木板与地面间夹角为

??arcsin(sin?0)

说明 应用机械能守恒定律时,需注意的是,木板的动能包括质心运动动能和绕质心的

转动动能。另外,也应注意木板脱离墙壁的条件N1?0或ax?0。

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3-9 将质量为m的均匀金属丝弯成一半径为R的圆环,其上套有一质量等于

1m的小2珠,小珠可在此圆环上无摩擦地运动,这一系统可绕固定在地面上的竖直轴转动,如图所示。

开始时,小珠(可看作质点)位于圆环的顶部A处,系统绕轴旋转的角速度为?0,求:当小珠滑到与环心同一水平的B处及环的底部C处时,环的角速度值,以及小珠相对环和相对地面的速度值。

分析 小珠与圆环组成系统绕AC轴转动角动量守恒,由此可解得小珠滑到B、C点

时圆环的转动角速度?1、?2。同时,系统机械能守恒可解得小珠在B、C点相对圆环的速度v1、v2。小珠相对地面速度为两速度合成。

解 取圆环、小珠为系统,在小珠下落过程中,系统所受外力对AC轴的力矩为零,故系统对AC轴角动量守恒,设小珠落至B、C处时环的角速度分别为?1、?2,则有

J?0?(J?1mR2)?1 2

(1) (2)

2J?0?J?2

式中J为圆环对AC轴的转动惯量,圆环绕过中心且垂直环面的轴的转动量为mR,根据垂直轴定理

J?J?mR2,J?1mR2 2 (3)

由(1)~(3)式解得

?1??0

12

(4)

(5)

?2??0

取小珠、环及地球为系统,在小珠下落过程中,外力做功为零,系统中又无非保守内力做功,所以系统的机械能守恒。设小珠落至B、C处时,相对于环的速度分别为v1、v2,则有

11111112J?0?mgR?J?12?(m)R2?12?(m)v12 222222211111222J?0?mg(2R)?J?2?(m)v2 22222

(6) (7)

由(4)~(7)式,解得小珠在B、C处相对于环的速度分别为

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v1?122?0R?2gR 2

(8)

v2?4gR

(9)

小珠相对于环作圆周运动,所以v1的方向与AC轴平行向下,v2的方向与AC轴垂直向左。小珠落到B处时,环上B处相对于地面速度为?1R,方向垂直纸面向里。故小珠在B处相对于地面的速度大小为

vB?v12??12R2

(10)

把(4)、(8)式代入(10)式可得

vB?322?0R?2gR 4环上C处相对于地面的速度恒为零,所以小珠在C处相对于地面的速度,即为相对于环的速度,故有

vC?v2?4gR

说明 对于本题要注意,这是一个包含有刚体和质点的系统。实际上对所有的质点系,

只要外力对某轴的力矩之和为零,则质点系关于该轴角动量守恒,只要无非保守力作功,系统机械能守恒。

3-10 如图,一实心圆柱体在一倾角为?的斜面上作无滑动滚动。设摩擦系数为?,求使该实心圆柱体只滚不滑时,?的取值范围。如果?和?可调节,能否使圆柱体在无滑下滚过程中质心保持匀速运动。

分析 圆柱体无滑下滚过程中,根据质心运动定律及绕质心轴转动定律,结合纯滚条件纯滚时,摩擦力f??N,由此可限定?角取值范围。aC??r可解得摩擦力f与?角关系。

由上也可得质心aC与?关系并由此可判断无滑下滚过程中质心的运动状态。

解 设实心圆柱体的半径为r,其对中心轴的转动惯量JC?质心沿斜面平动(以沿斜面向下为正)有

12mr,其受力如图。 2mgsin??f?maC

(1)

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在垂直斜面方向有

N?mgcos??0

(2)

绕质心的转动有

fr?JC?

只滚不滑的条件是

aC??r

由(1)、(2)、(3)、(4)式可得

??rJmgsin?

C?mr2

f?JCJ2mgsin? C?mr欲使物体只滚不滑,则必须有

f??N??mgcos?

所以

JCmgsin?J2??mgcos? C?mr

tg???JC?mr2J C即

?arctg(?JC?mr2?J)

C将JC?12mr2代入,即得

??arctg3?

要保证只滚不滑,则由(6)式知

f?JCJ2mgsin??1mgsin? C?mr3由(7)式知

??JCJtg??1 C?mr23tg?

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(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

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