从（1）式知
mgsin??f?maC
2gsin? 3 (10)
将（8）式代入（10）式得
aC?此时调节?只能改变aC，但不会为零，故不能使质心以匀速无滑下滚。
说明 这是一个典型的刚体平面平行运动。此类刚体的平面平行运动，其运动可看成质心的平动和绕通过质心轴的转动，其求解过程一般为（1）对质心平动应用质心运动定律；（2）对绕过质心轴的转动应用转动定律；然后结合运动的特点求解。其中，对质心运动的分析和描述非常重要。
3-11 三个质量都为m的小球，A和B小球分别固定于一长为l的刚性轻质（其质量可忽略不计）细杆两端，并置于光滑水平面上，D小球以速度v0与B小球对心弹性碰撞，AB与v0方向夹角为45。求碰后（1）棒的角速度；（2）D小球损失的动能。
?
分析 取A球与由细杆相连的B、C球为系统，碰撞前后系统动量守恒，对AB质心
角动量守恒，同时动能守恒，由三守恒定律即可求棒绕质心转动的角速度，而D小球碰撞前后的速度也可求出，从而可求D球损失的动能。
解 （1）由A、B、D三小球组成的系统，在碰撞过程中，系统的角动量、动能和动
量都守恒。D和B对心碰撞，设其碰后速度为v，显然v与
v0在同一直线上，同时设碰后，AB质心速度为vC，转动
角速度为?，则
角动量守恒（对AB质心C）。
mv0lllsin45??mvsin45??2m()2? 222 (1)
动能守恒
111l122mv0?mv2??2m()2?2?(2m)vC 22222 (2)
动量守恒
mv0?mv?2mvC
(3)
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化简以上三式得
v0?v?2?l
2v0?v2?
(4) (5) (6)
1222l??2vC 2
v0?v?2vC
由（4）、（6）两式得
vC?2l? 2 (7)
联立（5）、（6）两式，并考虑到（7）式得
v?32l??v0 4 (8)
将（8）代入（4）式即得棒的角速度为
??42v0? 7l112mv0?mv2 22（2）小球D损失的动能为 而 则
?E?v?323242v01l??v0?l???v0??v0 447l7242mv0 49?E?而E0?能的
1482mv0E0，可见小球D损失的动能为原有动为小球D原有的动能。因而?E?24948。 49说明 小球和细杆组成的系统不受外力，当然也不受外力矩作用，因而动量、角动量守
恒，同时小球的碰撞为弹性碰撞，动能也守恒。需要注意的是在刚体定轴转动中，由于刚体受轴的作用力，刚体的动量一般不守恒，但本题无此轴力的作用。同时，从结果我们可看出细杆既作平动（以质心速度vC表示），又作绕质心C的转动，转动角速度为?。
17
3-12 如图所示，将一个质点沿一个半径为r的光滑半球形碗的内面水平地投射，碗保持静止。设v0是质点恰好能达到碗口所需要的初速率。试求出v0作为?0的函数，?0是用角度表示的质点的初位置。
分析 质点运动过程中，对OO?轴角动量守恒，同时机械能也守恒，由两守恒定律可求解本题。
解 设小球于K点以v0投射，此时对OO?轴的角动量为
J0?0?mr02v0 r0其中 则
r0?rsin?0
J0?0?mrv0sin?0
v?mrv r当质点到达碗口时，角动量为
J??mr2由于小球所受的力与轴OO?在同一平面内，则合外力矩M?0，所以角动量守恒。
J0?0?J?
即
mrv0sin?0?mrv v?v0sin?0
112mv0?mv2?mgrcos?0 222v0?v2?2grcos?0
又全过程中仅重力作功，机械能守恒
?v0sin?0?2grco?s0
22所以
v0?2grcos?02gr ?2cos?01?sin?018
说明 由此题可以看出，用守恒定律求解题非常方便。 3-13 如图，半径为R的乒乓球，绕质心轴的转动惯量J?2mR2，m为乒乓球的质3量，以一定的初速度在粗糙的水平面上运动，开始时球的质心速度为vC0，初角速度为?0，两者的方向如图所示，已知乒乓球与地面之间的摩擦系数为?，试求乒乓球开始作纯滚运动所需的时间及纯滚时的质心速度。
分析 乒乓球在整个运动过程中都受到摩擦力作用，大小为?mg是定值，方向向左。开始时，乒乓球质心向右运动且绕质心逆时针转动，摩擦力阻止质心运动的同时也阻止其绕质心逆时针转动，使质心速度vC和角速度?越来越小。若质心初速度较大时，当?减为零时，质心速度vC还末为零，乒乓球继续向右运动，此时在摩擦力?mg作用下，乒乓球开始顺时针转动，因此时顺时针转动的?较小，乒乓球还是又滚又滑。此后，由于摩擦力作用，质心速度继续减小，但同时顺时针转动的角速度不断增大，直到满足vC?R?条件时，乒乓球开始纯滚运动，因此，利用质心运动定理和转动定律即可求
解乒乓球开始作纯滚运动所需时间及纯滚时质心速度，另外，也可在选择好恰当参考点下，用角动量守恒定律可求出纯滚时质心的速度vC，进而求出纯滚所需时间。
解法一 如图的水平向右为质心速度的正方向，设如图的逆时针转动为角速度的正方
向，在球又滚又滑阶段，滑动摩擦力为定值，由质心运动定理，有
mdvC???mg dt初条件为
t?0时，vC?vC0
代入积分上式得
vC?vC0??gt
d????mgR dt (1)
由转动定律
J 19
初条件为
t?0时，???0
代入积分上式得
???0??mgRJt
(2)
又因纯滚条件为
vC??R?
(3)
设达到纯滚的时间为t1，负号表示纯滚时，乒乓球滚动方向与规定方向相反，把（1）、（2）式，代入（3）式，得
vC0??gt1??R(?0??mgRJt1)
将J?2mR2代入得 3
t1?vC0?R?02(vC0?R?0)? 25?gmR?g(1?)J把t1代入（1）式，得出开始纯滚时质心速度为
vC?vC0??gt1
?vC0?232(vC0?R?0)?vC0?R?0 555
解法二 利用角动量守恒定律。如图，取开始时乒乓球与地面的接触点O为参考点，
设角动量的正方向为垂直图面向里，因乒乓球不受外力矩，故角动量守恒，球对参考点O的角动量等于质心角动量与绕质心轴的角动量的矢量和。开始时的角动量为(mRvC0?J?0)，开始纯滚时的角动量为(mRvC?J?)，由角动量守恒，有 即
mRvC0?J?0?mRvC?J?
J2(R??R?)??(R?0?R?) 03mR2vC?vC0??因纯滚时满足条件
vC?R?
故纯滚时的质心速度vC满足
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