Banach空间压缩映像原理和不动点原理及
其应用
——摘 要
本文进一步揭示了Banach空间压缩映像原理与完备性的关系,
对压缩映像原理与不动点的相关理论做了详细地阐述，并对Banach空间中压缩映像原理与不动点原理的应用做了详细的举例说明。
——关键词
Banach空间 压缩原理 完备性 不动点
——引言
泛函分析是本世纪出才逐渐形成的一个新的数学分支，以其高度
的统一性和广泛的应用性，在现代数学领域占有重要的地位。在泛函分析中，Banach空间理论在隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理等等中，否起到了关键的作用，且都归结为一个定理——不动点定理。这正是抽像的结果。
不动点定理实际上是算子方程Tx=x的求解问题，是分析学的各个分支中存在和唯一性定理的重要基础，它是关于具体问题解的存在唯一性的定理，其中Banach不动点定理，亦称压缩映射原理，它提供了线性方程解的最佳逼近程序，给出了近似解的构造，在常微分方程、积分方程等领域中也有着广泛的应用，在现代数学发展中有着重要的地位和作用。
——正文
⒈Banach空间压缩映像定理及其应用
随着现代电子计算机技术的发展，我们在解方程（包括常微分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程、代数方程等）的过程中，大量使用的是逐次逼近的迭代法。几乎可以这样说：对一个方程，只要我们找到一个迭代公式，就算解出了这个方程（当然我们还要考虑迭代公式的收敛性、解的稳定性和收敛速度等问题）。但是，在逐次迭代中，我们必须保证迭代过程中得到的是个收敛序列，否则就是毫无意义的了。而选代法解方程的实质就是寻求变换（映射、映像）的不动点。例如求方程f(x)=0的根，我们可令g(x)=x-f(x)，则求f(x)=0的根就变成求g(x)的不动点，即求,使.而在通常求映射的不动点的方法中，最简单的就是下面我们所讲的--Banach空间压缩映像定理。
定义（压缩映像）
设T是度量空间X到X中的映像，如果对都有（是常数）则称T是X上的一个压缩映像。
从几何上说：压缩映像即点x和y经过映像T后，它们的像的距离缩短了（不超过d(x,y)的倍）
定理1（Banach压缩映像原理）1922年 （Banach 1892-1945 波兰数学家） 设（X,d）是一个完备度量空间，T是X上的一个压缩映像，则丅有唯一的不动点。即存在x属于X，使得Tx=x。（证明存略）
对于压缩映像原理的应用，最典型的有以下几个定理可说明问题。
定理2（隐函数存在定理） 设u?f(x,y)在带状区域D?{(x,y):a?x?b,???y???}上处处连
续，处处有关于y的偏导数
fy'(x,y),且如果存在常数
m,M，适合
0?m?fy'(x,y)?M.则方程f(x,y)?0在闭区间?a,b?上有唯一的连续函
数y??(x),使f(x,?(x))?0。
证：（在C?ab?中考虑映像
T????1f?x,??x??M，若其为压缩映像，
则有不动点T????f?x,??x???0）
在完备度量空间C??ab?中作映像
T????1f?x,??x??M,显然,对
??C?ab?由连续函数的运算性质有
b?T??C?ab?。
?T是C?a到自身的一个映像
下证是压缩的. 即证
?1,?2?C?ab?d?T?1,T?2???d??1,?2?,??1,?2?C?ab?,0???1,任取
由微分中值定理,存在0???1,使
11f?x,?2?x????1?f?x,?1?x??MM
T?2?T?1??2????2??1??1'fy?x,?1?x?????2?x???1?x?????2??1?M
???
2m???2?x???1?x??1??M令
??1?mM 则 0???1,故 T??T?1???2??1
取最大值 ?d?T?2,T?1???d??2,?1?,0???1
?映像T是压缩的.由Banach压缩映像定理
在C?ab?上有唯一的不动点??x?使 T???
显然这个不动点适合f?x,??x???0
注：① 注意本定理的证明思路：先确定空间，再找映像（这是