SCH高中数学（南极数学）同步教学设计
1.4.2（1）正弦、余弦函数的性质(教学设计)
教学目的：
知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义； 能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。
德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思
想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。
教学重点：正、余弦函数的周期性
教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用 授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程：
一、创设情境,导入新课：
1．现实生活中的“周而复始”现象：
（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……
（2）现在下午2点30，那么每过24小时候是几点？ （3）路口的红绿灯（贯穿法律意识）
2．数学中是否存在“周而复始”现象，观察正（余）弦函数的图象总结规律
y 1–
x ?? ?? ?5? ?2? O ?5? 2? ? 22 ?1 –
正弦函数f(x)?sinx性质如下：
（观察图象） 1?正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；
1
SCH高中数学（南极数学）同步教学设计
2?规律是：每隔2?重复出现一次（或者说每隔2k?,k?Z重复出现） 3?这个规律由诱导公式sin(2k?+x)=sinx可以说明
结论：象这样一种函数叫做周期函数。
文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；
符号语言：当x增加2k?（k?Z）时，总有f(x?2k?)?sin(x?2k?)?sinx?f(x)． 也即：（1）当自变量x增加2k?时，正弦函数的值又重复出现； （2）对于定义域内的任意x，sin(x?2k?)?sinx恒成立。 余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。 二、师生互动，新课讲解：
1．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
问题： （1）正弦函数y?sinx，如果是，周期是多少？（2k?，x?R是不是周期函数，k?Z且k?0）余弦函数呢？
（2）观察等式 sin(?)?sin是否成立？如果成立，能不能说 是y=sinx的周期？
424????2 （3）若函数f(x)的周期为T，则kT，k?Z*也是f(x)的周期吗？为什么？
（是，其原因为：f(x)?f(x?T)?f(x?2T)??f(x?kT)）
2.最小正周期：T往往是多值的（如y=sinx 2?,4?,…,-2?,-4?,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）
y=sinx, y=cosx的最小正周期为2? （一般称为周期）
从图象上可以看出y?sinx，x?R；y?cosx，x?R的最小正周期为2?； 3、例题讲解
例1（课本P35例2） 求下列三角函数的周期： ①y?3cosx ②y?sin2x（3）y?2sin(x?)，x?R．
612?解：（1）∵3cos(x?2?)?3cosx，
∴自变量x只要并且至少要增加到x?2?，函数y?3cosx，x?R的值才能重复出现， 所以，函数y?3cosx，x?R的周期是2?． （2）∵sin(2x?2?)?sin2(x??)?sin2x，
∴自变量x只要并且至少要增加到x??，函数y?sin2x，x?R的值才能重复出现，
2
SCH高中数学（南极数学）同步教学设计
所以，函数y?sin2x，x?R的周期是?．
1?1?1?（3）∵2sin[(x?)?2?]?2sin[(x?4?)?]?sin(x?),，
262626∴自变量x只要并且至少要增加到x?4?，函数y?sin2x，x?R的值才能重复出现， 所以，函数y?2sin(1x??26)，x?R的周期是4?．
变式训练1：求下列三角函数的周期：
（1）y=sin3x （2）y=cosx （3）y=3sinx34
(4) y=sin(x+
?10) (5) y=cos(2x+?3) 解：1? ? sin(3x+2?)=sin3x 又sin(3x+2?)=sin3(x+2?3) 即：f (x+
2?3)=f (x) ∴周期T=2?3 2? cosxx3=cos(3?2?)=cos13(x?6?)
即：f (x+6?)=f (x) ∴T=6?
3? ? 3sinx=3sin(x+2?)=3sin(1444（x?8?）)=f (x+8?) 即：f(x+8?)=f(x) ∴T=8? 4? ?sin(x+?10)=sin(x+?10+2?) 即f(x)=f(x+2?) ∴T=2?
5? ?cos(2x+?)=cos[(2x+?)+2?]=cos[2(x+?)+?333] 即：f(x+?)=f(x) ∴T=?
由以上练习，请同学们自主探究T与x的系数之间的关系。
小结：形如y=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A?0, x?R) 周期T?2?|?| y=Acos(ωx+φ)也可同法求之
一般结论：函数y?Asin(?x??)?b及函数y?Acos(?x??)?b，x?R的周期T?2?|?|
3