《圆锥曲线》知识要点及重要结论
一、椭圆
1 定义 平面内到两定点F1,F2的距离的和等于常数2a(2a?F1F2)的点P的轨迹叫做椭圆.若2a?F1F2，点P的轨迹是线段F1F2.若0?2a?F1F2，点P不存在.
x2y22 标准方程 2?2?1(a?b?0)，两焦点为F1(?c,0),F2(c,0).
aby2x2?2?1(a?b?0)，两焦点为F1(0,?c),F2(0,c).其中a2?b2?c2. 2ab3 几何性质
椭圆是轴对称图形，有两条对称轴. 椭圆是中心对称图形，对称中心是椭圆的中心. 椭圆的顶点有四个，长轴长为2a，短轴长为2b，椭圆的焦点在长轴上.
x2y2若椭圆的标准方程为2?2?1(a?b?0)，则?a?x?a,?b?y?b；
aby2x2若椭圆的标准方程为2?2?1(a?b?0)，则?b?x?b,?a?y?a.
ab二、双曲线
1 定义 平面内到两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a(0?2a?F1F2)的点的轨迹叫做双曲线. 若2a?F1F2，点P的轨迹是两条射线.若2a?F1F2，点P不存在.
x2y22 标准方程 2?2?1(a?0,b?0)，两焦点为F1(?c,0),F2(c,0).
abx2y2?2?1(a?0,b?0)，两焦点为F1(0,?c),F2(0,c).其中c2?a2?b2. 2ab3 几何性质
双曲线是轴对称图形，有两条对称轴；双曲线是中心对称图形，对称中心是双曲线的中心. 双曲线的顶点有两个A1,A2，实轴长为2a，虚轴长为2b，双曲线的焦点在实轴上.
x2y2若双曲线的标准方程为2?2?1(a?0,b?0)，则x??a或x?a,y?R；
aby2x2若双曲线的标准方程为2?2?1(a?0,b?0)，则y??a或y?a,x?R.
ab
4 渐近线
x2y2x2y2bb双曲线2?2?1(a?0,b?0)有两条渐近线y?x和y??x.即2?2?0
aaababy2x2y2x2aa双曲线2?2?1(a?0,b?0)有两条渐近线y?x和y??x.即2?2?0
bbabab双曲线的渐进线是它的重要几何特征，每一双曲线都对应确定双曲线的渐进线，但对于同一
组渐进线却对应无数条双曲线.
x2y2x2y2与双曲线2?2?1(a?0,b?0)共渐进线的双曲线可表示为2?2??(??0).
abab直线与双曲线有两个交点的条件，一定要“消元后的方程的二次项系数?0”和“??0”
同时成立.
5 等轴双曲线：实轴长等于虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线.
x2y2y2x2等轴双曲线的标准方程为2?2?1(a?0)或2?2?1(a?0).
aaaa等轴双曲线的渐近线方程为y??x.
6 共轭双曲线：实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线互为共轭双曲线.
x2y2y2x2如：2?2?1(a?0,b?0)的共轭双曲线为2?2?1(a?0,b?0)，它们的焦点到
abba原点的距离相等，因而在以原点为圆心，a2?b2为半径的圆上.且它们的渐近线都是
y?bbx和y??x. aa三、抛物线
1 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(F不在l上) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线. 2 标准方程
pp,0)，准线方程为x??，抛物线张口向右.
22pp2(2) y??2px(p?0)，焦点为(?,0)，准线方程为x?，抛物线张口向左.
22pp2(3) x?2py(p?0)，焦点为(0,)，准线方程为y??，抛物线张口向上.
22pp2(4) x??2py(p?0)，焦点为(0,?)，准线方程为y?，抛物线张口向下.
22其中p表示焦点到准线的距离.
(1) y?2px(p?0)，焦点为(23 几何性质
抛物线是轴对称图形，有一条对称轴.若方程为y?2px(p?0)或y??2px(p?0)，
22则对称轴是x轴，若方程为x?2py(p?0)或x??2py(p?0)，则对称轴是y轴. 若抛物线方程为y?2px(p?0)，则x?0,y?R. 若抛物线方程为y??2px(p?0)，则x?0,y?R. 若抛物线方程为x?2py(p?0)，则y?0,x?R. 若抛物线方程为x??2py(p?0)，则y?0,x?R.
圆锥曲线的一些重要结论
【几个重要结论】
222222x2y21 已知椭圆2?2?1(a?b?0)的两焦点为F1(?c,0),F2(c,0)，P(x0,y0)为椭圆上一
ab2x0点，则PF1?(x0?c)?y?(x0?c)?b(1?2)
a220222c2x0cx0cx022??2cx?a?(?a)??a 02aaa因为?a?x0?a，?c?cx0cx?c,0?a?c?0?a?a?c， aa所以PF1?cx0cx?a. 同理，PF2?2a?PF1?a?0. aax2y2已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1(?c,0),F2(c,0)，P(x0,y0)为
ab双曲线上一点，则PF1?cx0cx?a，PF2?0?a. aax2y22 椭圆2?2?1(a?b?0)的两焦点为F1,F2，P为椭圆上一点，若?F1PF2??，则
abb2sin???b2tan. ?F1PF2的面积为
1?cos?2解：根据椭圆的定义可得PF1?PF2?2a ① 由余弦定理可得4c?F1F222?PF1?PF2?2PF1PF2cos? ②
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