圆锥曲线的综合问题
【2019年高考考纲解读】
1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.
2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大． 【重点、难点剖析】 一、 范围、最值问题
圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解． 二、定点、定值问题
1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)． (1)求E的方程；
(2)设E与y轴正半轴的交点为B，过点B的直线l的斜率为k(k≠0)，l与E交于另一点P.若以点
B为圆心，以线段BP长为半径的圆与E有4个公共点，求k的取值范围．
→→
【解析】解法一 (1)设点M(x，y)，由2MQ＝AQ，得A(x,2y)， 由于点A在圆C：x＋y＝4上，则x＋4y＝4， 即动点M的轨迹E的方程为＋y＝1.
4(2)由(1)知，E的方程为＋y＝1，
4
因为E与y轴正半轴的交点为B，所以B(0,1)，
所以过点B且斜率为k的直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)．
2
2
2
2
x2
2
x2
2
y＝kx＋1，??2由?x2
＋y＝1，??4
得(1＋4k)x＋8kx＝0，
22
设B(x1，y1)，P(x2，y2)，因此x1＝0，x2＝－8|k|22|BP|＝1＋k|x1－x2|＝1＋k. 2
1＋4k8k2， 1＋4k由于以点B为圆心，线段BP长为半径的圆与椭圆E的公共点有4个，由对称性可设在y轴左侧的椭圆上有两个不同的公共点P，T，满足|BP|＝|BT|，此时直线BP的斜率k＞0，
记直线BT的斜率为k1，且k1＞0，k1≠k， 8|k1|2
则|BT|＝1＋k1， 21＋4k1
8|k1|8|k|k1＋k1k＋k22故1＋k＝1＋k，所以－12222＝0， 1＋4k11＋4k1＋4k11＋4k即(1＋4k)k1＋k1＝(1＋4k1)k＋k， 所以(k－k1)(1＋k＋k1－8kk1)＝0， 由于k1≠k，因此1＋k＋k1－8kk1＝0，
2
2
22
2
2
2
2
22
2
2
4
2
2
4
2
4
2
4
k211＋1
故k＝2＝＋8k1－18
2
9k21－
.
9
k21－
1
＞. 8
1222
因为k＞0，所以8k1－1＞0，所以k＝＋
8又k＞0，所以k＞
2. 4
2
2
22
又k1≠k，所以1＋k＋k－8kk≠0， 所以8k－2k－1≠0.又k＞0，解得k≠所以k∈?
4
2
2， 2
2??2?2?，?∪?，＋∞?. 2??2?4?
2??22??
根据椭圆的对称性，k∈?－∞，－?∪?－，－?也满足题意．
2??24??
2??22??22??2??
综上所述，k的取值范围为?－∞，－?∪?－，－?∪?，?∪?，＋∞?.
2??24??42??2??解法二 (1)设点M(x，y)，A(x1，y1)，则Q(x1,0)．
?→→x1－x＝0，?
因为2MQ＝AQ，所以2(x1－x，－y)＝(0，－y1)，所以?
??－2y＝－y1，
解得?
??x1＝x，
??y1＝2y.
因为点A在圆C：x＋y＝4上，所以x＋4y＝4， 所以动点M的轨迹E的方程为＋y＝1.
4
(2)由(1)知，E的方程为＋y＝1，所以B的坐标为(0,1)，易得直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)．
4
2222
x2
2
x2
2
y＝kx＋1，??2由?x2
＋y＝1，??4
得(1＋4k)x＋8kx＝0，
22
8k设B(x1，y1)，P(x2，y2)因此x1＝0，x2＝－2，
1＋4k8|k|22
|BP|＝1＋k|x1－x2|＝1＋k. 21＋4k64k1＋k则点P的轨迹方程为x＋(y－1)＝21＋4k2
2
2
22，
64k1＋k??x2＋y－2＝21＋4k由?
??x2＋4y2＝4，
222，
64k1＋k得3y＋2y－5＋2
1＋4k2
222
＝0(－1＜y＜1)． (*)
依题意，得(*)式在y∈(－1,1)上有两个不同的实数解． 64k1＋k设f(x)＝3x＋2x－5＋2
1＋4k2
2
22
(－1＜x＜1)，
1
易得函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝－，
3
要使函数f(x)的图象在(－1,1)内与x轴有两个不同的交点， 64k1＋k??Δ＝4－4×3×?－5＋2?1＋4k?则?
??f－1＞0，
4k－4k＋1＞0，??22整理得?64k1＋k－4＋22＞0，?1＋4k?
4
2
2
22
?＞0，
??
12
??4k－4k＋1＞0，即?2
??8k－1＞0，
42
??
所以?1
k＞??8，k2≠，2
得k∈?－∞，－
?
?2??22??22??∪?－，－?∪?，?∪ 2??24??42?
?2?
?，＋∞?， ?2?
所以k的取值范围为?－∞，－2??2?2??，?∪?，＋∞?.
2??2?4?【方法技巧】
1．解决圆锥曲线中范围问题的方法
一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化． 由∠MQO＝∠NQO，得直线MQ与NQ的斜率之和为零，易知x1或x2等于0时，不满足题意，故
?
?2??22??∪?－，－?∪ 2??24?
y1－m＋x1
y2－m＝x2
kx1＋－mkx2＋－m2kx1x2＋?－m?x1＋x2?222?
x1
＋111
x2
＝
??
x1x2
＝0，
＝0，当k≠0时，m＝6，所
－11?1?－4k4km－?1?即2kx1x2＋?－m?(x1＋x2)＝2k·2＋?－m?·2＝2
3＋4k?2?3＋4k3＋4k?2?