2019-2020学年八年级数学第1届“希望杯”第2试试题
一、选择题:（每题1分，共5分）
1.等腰三角形周长是24cm，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是[ ] A．7.5
B．12. C．4. D．12或4
2.已知P=1988?1989?1990?1991?1?(?1989)2，那么P的值是[ ] A．1987
B．1988. C．1989
D．1990
3．a＞b＞c，x＞y＞z，M=ax+by+cz，N=az+by+cx，P=ay+bz+cx，Q=az+bx+cy，则[ ] A．M＞P＞N且M＞Q＞N. B．N＞P＞M且N＞Q＞M C．P＞M＞Q且P＞N＞Q. D．Q＞M＞P且Q＞N＞P
4．凸四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA∶∠ABC=2∶1,AD∶CB=1∶3,则∠BDA=[ ] A．30°
B．45°. C．60°.
D．不能确定
5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割[ ]
A．是不存在的. B．恰有一种. C．有有限多种，但不只是一种.D．有无穷多种 二、填空题:（每题1分，共5分） 1． △ABC中，∠
∠B=90°，∠C的平分线与AB交于L，∠C的外角平分线与BA
的延长线交于N．已知CL=3，则CN=______． 2． 若a?1?(ab?2)2?0,那么
11ab?1(a?1)(b?1)?(a?1990)(b?1990)的值是_____.
3． 已知a，b，c满足a+b+c=0，abc=8，则c的取值范围是______．
4． ΔABC中, ∠B=300,AB=5,BC=3,三个两两互相外切的圆全在△ABC中，这三
个圆面积之和的最大值的整数部分是______．
5． 设a,b,c是非零整数,那么aa?bb?cabacbcabcc?ab?ac?bc?abc的值等于_________.
三、解答题:（每题5分，共15分）
1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是
177．
2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD和A＇B＇C＇D＇，且正方形A＇B＇C＇D＇的顶点A＇在正方形ABCD的中心．当正方形A＇B＇C＇D＇绕A＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．
3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列n1＜n2＜n3＜n4……， 试求：n1·n2之值．
答案与提示 一、选择题
提示：
1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)． 又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．
=19882+3×1988+1-19892 =(1988+1)+1988-1989=1988
3．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．
4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB
5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)． 二、填空题
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提示：
1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．