非线性有限元分析
图2.16 几何图形和受力对称的孔板
完整的半无限土壤进行理想化。幸运的是，这类问题是不需要把无限体理想化的。由于随着加载点的距离的增加，加载的效果逐渐减小，因此，我们可以只考虑如图2.18（b）所示的加载会产生显著效果的连续加载部分。一旦无限体的显著程度如图2.18（b）图中所示被确定下来，这个有限物体的边界条件就要包括在问题的求解之中。例如，如果水平运动只限制在AB边和CD边（即，u=0），那么这些边都应该在如图2.18（b）图所示的柱状体上面。在这种情况下，底部边界可以完全固定（u=v=0）或只限制垂直方向的运动（v=0）。如果下边界视为基岩表面的已知位置，那么我们就会经常使用固定条件（沿BC边u=v=0）。
在图2.18中，通过只考虑土壤的有限部分，半无限土壤已经被模拟。在一
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区域的离散化
图2.17 几何形状和受力均匀的坝体
图2.18 集中力作用下的地基
图2.19 四节点有限单元
些应用中，决定有限区域的大小尺寸可能会产生问题。在这种情况下，人们可
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非线性有限元分析
以使用无限单元建模。作为一个例子，图2.19显示出了一种在x方向无限长的四节点单元。这无限的单元节点的坐标可以转化为自然坐标系[请参见第4.3.3节为自然坐标系的定义]
1?y3?y?x1??y3?y?x4m}xy3?y1y?yt?1?2{3}y3?y1s?1?2{
2.4 节点编号策略
从第1章中可以看出，实际问题的有限元分析往往涉及矩阵方程，方程中所包含的矩阵是带状的。由于矩阵的带状性质，大型实用系统的有限元分析的进步已成为可能。此外，因为所涉及的大多数矩阵（例如，刚度矩阵）是对称的，所以，计算机上存储空间的需求大幅减少，因为计算机只需存储所涉及到的半带宽的单元，而不是存储整个矩阵。
整体或全局特征矩阵的带宽取决于节点编号策略和每个节点所考虑到的自由度的数量。如果我们可以最大限度地减少带宽，那么存储的要求以及求解时间也可以随之减少。对于任何给定类型的问题，由于每个节点自由的度数一般是固定的，因此，使用适当的节点编号策略，带宽可以最小化。作为一个例子，考虑一个带有刚性接头三交叉框架，如图2.20所示，高20层。假设每个节点有三个自由度，最后的方程中就有240个未知数（不包括固定节点对应的自由程度），并且，如果整个刚度矩阵存储在计算机中，它会
需要2402=57600个位置。的整体刚度矩阵的带宽（严格来说，是半带宽）是15，因此所需的上半频带的存储空间只有15×240=3600个位置。
在我们试图尽量减少带宽之前，我们讨论计算带宽的方法。对于这一点，我们再考虑如图2.20所示的刚性连接框架。通过将约束应用于除外节点1（接头A）处的数字1外的所有节点的自由度，很明显，强加于1方向的单元位移将要求在与节点A直接连接到的所有节点处（也就是，B和C）的约束力。在这些制约力都不过是在刚度矩阵中出现的交叉刚度，同时，这些力被限制在节点B和C。因此，整体刚度矩阵（图2.21）的第一行中的非零项将被限制的到之前的15个位置处。这样便把带宽（B）定义为：
带宽（B）=（任何单元的端部处的编号的自由度之间的最大差异+1） 此定义可以是广义的，其适用于任何类型的有限元： 带宽（B）=（D+1）f
其中，D是发生在组合中所有单元节点编号差异的最大的极大值，f是在每个节点上的自由度的数量。
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区域的离散化
图2.20
图2.21 图2.20框架刚度矩阵的带宽性质
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非线性有限元分析
图2.22 不用的节点编号策略
前面的方程表明，D应取有最小值，以尽量减少带宽。因此，较短的带宽可以简单地通过为贯穿物体最短距离的节点编号的方式获得。从图2.22中也可以清楚的看到。其中，沿较短尺寸的节点的编号产生的带宽为B =15（D= 4），而沿较长尺寸的编号产生带宽B=63（D= 20）。 2.5网格自动生成
如前一节中所示，整个系统的矩阵的带宽依赖于节点以何种方式进行编号。对于简单的系统或区域，节点很容易编号，从而尽量减少带宽。但是，对于大型系统，这一过程几乎是不可能的。因此，网格自动生成算法已经被开发，这种算法能够在无需用户干预条件下，把任何几何形状离散成为一个高效的有限元网格。大多数商业有限元软件已建成网格自动生成的代码。网格自动生成程序生成的节点和单元的位置，标定节点和单元，并提供了单元节点间的连接关系。网格自动生成策略通常和实体建模以及计算机辅助设计策略相联系。当用户提供构成的物体或系统的材料区域的表面积以及体积的信息时，自动网格生 成器就生成了对象中的节点和单元。用户还可以指定对象的不同区域最小的许用单元大小。
在网格自动生成器中最常用的方法是镶嵌细分和八叉树方法。在的镶嵌细分方法中，用户给出的节点的点的集合，以及一个任意的起始节点。该方法然后利用相邻节点，创建了第一个单一的单元。然后，后续的或相邻的单元也随之产生，这种产生是通过选择给出最小失真的单元形状的结点来实现的。该过
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