解三角形
【考纲说明】
1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题
【知识梳理】
一、正弦定理
abc???2R（R为△ABC外接圆半径）1、正弦定理：在△ABC中，。 sinAsinBsinC2、变形公式：（1）化边为角：a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC; （2）化角为边：sinA?abc,sinB?,sinC?; 2R2R2R （3）a:b:c?sinA:sinB:sinC （4）
a?b?cabc????2R.
sinA?sinB?sinCsinAsinBsinC1111abcS?ah?absinC?acsinB?bcsinA??2R2sinAsinBsinC 3、三角形面积公式：?ABC22224R4、正弦定理可解决两类问题：
（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）
（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一） 二、余弦定理
1、余弦定理：a?b?c?2bccosA?cosA?b?c?a2bc222222222
b?c?a?2accosB?cosB?c?a?b
2ca222c?a?b?2abcosC?cosC?a?b?c
2ab2222222、余弦定理可以解决的问题：
第 1 页 共 12 页
（1）已知三边，求三个角；（解唯一）
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：
（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）.
北 北 西 α 东 目标 α i?h lh 南 东 B θ
l图1 图2 图3 图4
2、方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为?（如图2）. 3、方向角
相对于某一正方向的水平角（如图3）.
4、坡角：坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（如图4）. 坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度（或坡比）
【经典例题】
1、（2012天津理）在?ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知8b=5c,C=2B,则cosC?（ ）
A．
7 25B．?7 25C．?7 25D．
24 25【答案】A 【解析】
8b?5c,由正弦定理得8sinB?5sinC，又C?2B，?8sinB?5sin2B，
47,cosC?cos2B?2cos2B?1?. 525所以8sinB?10sinBcosB，易知sinB?0,?cosB?o2、（2009广东文）已知?ABC中，?A,?B,?C的对边分别为a,b,c若a?c?6?2且?A?75，则b?
第 2 页 共 12 页
( )
A．2 B．4＋23 C．4—23 D．6?2 【答案】 A
【解析】sinA?sin750?sin(300?450)?sin300cos450?sin450cos300?2?64 由a?c?6?2可知,?C?750,所以?B?300,sinB?12 由正弦定理得b?a?sinB?2?6sinA2?6?12?2,故选A
43、（2011浙江）在?ABC中，角A,B,C所对的边分a,b,c.若acosA?bsinB，则sinAcosA?cos2B?( A．-
12 B．12 C． -1 D． 1 【答案】D
【解析】∵acosA?bsinB，∴sinAcosA?sin2B，
∴sinAcosA?cos2B?sin2B?cos2B?1.
4、（2012福建文）在?ABC中,已知?BAC?60?,?ABC?45?,BC?3,则AC?_______.
【答案】2
【解析】由正弦定理得
ACsin45??3sin60??AC?2
5、（2011北京）在ABC中，若b?5,?B??4,sinA?13，则a? . 【答案】
523 【解析】：由正弦定理得
asinA?bsinB又b?5,?B??1a54,sinA?3所以1??,a?523
3sin46、（2012重庆理）设?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA?35,cosB?513,b?3,则c?______ 【答案】c?145 第 3 页 共 12 页
)