新力学习题答案（五）
5—1．如本题图所示为圆筒状锅炉的横截面，设气体压强为p，求壁内的正应力。已知锅炉直径为D，壁厚为d（D>>d），应力在壁内均匀分布。
`解：???df??pds
5—2．（1）矩形横截面杆在轴向拉力的作用下产生拉伸应变为?，此材料的泊松比为?，求证体积的相对改变为：
V?V0??1?2???V0式中V0和V分别代表原来和形变后的体积。（2）式中是否适用于压缩？ （3）低碳钢的杨氏模量为Y=19.6*1010Pa,泊松比为0.3,受到的拉应力为?=1.37Pa,求杆体积的相对改变。
解：（1）证明：??????ll0??l??l0又??横??dd0(a)??d???d022?横?V0?l0d02?V??l0??l??d0??d???1???l0?1????d02???1???2???V0V?V0??1?2???V0(2)压缩时：l?l0??l??1???l0d?d0??d??1????d0V?ld2??1???l0??1????d0????1???2???V0V?V0????1?2???V02所以上式仍适用，不过比值变为负值（3）??Y?l?Y?l0????YV?V0?1.37?12??1?2?????1?2????1?2?0.3??2.8?10V0Y19.6?1010
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5—3．在剪切钢板时，由于刀口不快，没有切断，该材料发生了剪切形变。钢板的横截面积为S=90cm2，二刀口间的距离为d=0.5cm，当剪切力为F=7*105N时，已知钢板的剪变模量为G=8*1010Pa，求：
（1）钢板中的剪切应力； （2）钢板的剪切应变；
（3）与刀口齐的两个截面所发生的相对滑移。
F//7?1057解：（1）?//????108Pa?4S990?107?108?7?2(2)?//?G????//?9??10G8?101072?d77(3)????d??d??10?2?0.5??10?2cmd721445—4．矩形横截面边长2:3的梁在力偶矩作用下发生纯弯曲。对于截面的两个不同取向，同
样的力偶矩产生的曲率半径之比为多少？
解：依据梁弯曲的曲率半径公式，有：Ybh3R?12M外设边长分别为2a与3a一种取向：b?2a3h?3a(1)Y2a?3a?52Ya4则：R1??12M外12M外另一种取向：b?3a3h?2a(2)Y3a?2a?24Ya4则：R2??12M外12M外?R1549??R22445—5．试推导钢管扭转常量D的表达式。
解：钢管中间是空的。设钢管长度为l，管内外半径分别为R1与R2。当钢管有一个?角的扭转角时，对于R1?r?R2,在半径r处任一点产生的偎依为r??剪变角为??r??r?lGr?l在r?r?dr的面积ds?2?rdr剪切应力?//?G??r??2?G?r2dr?dr内剪切力为df??//ds?l
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2?G?r3dr此力对主轴的力矩为dM?rdf?l3R22?G?rdr?G?4?M??dM???R2?R14?D?R1l2l?G4?D?R2?R142l????
5—6．一铝管直径为4cm,壁厚1mm,长10m,一端固定，另一端作用一力矩50N.m，求铝管的扭转角?。对同样尺寸的钢管再计算一遍。已知铝的剪变模量G=2.65*1010Pa，钢的剪变模量为8.0*1010Pa.。
解：依5—5题有：??代入数据即可（略）M?G?2l?R42?R14?5—7．用流体静力学基本原理，论证液面上有大气、物体全部浸在液体中的情况下的阿基米德原理。
解：取物体内面积为ds(设其在水平方向的投影为ds*)的小柱体，小柱体的上下地面距离水面分别为h1与h2则：这部分小柱体受到的浮力为：df浮?P下底ds*?P上底ds*??P0??gh2?ds*??P0??gh1?ds*??g?h2?h1?ds*??gdV(dV是小柱体的体积）?f浮??df浮???gdV??gV物h1h25—8．灭火筒每分钟喷出60m3的水，假定喷口处水柱的截面积为1.5cm2，问水柱喷到2m高时其截面积有多大？
解：设喷口处为1处，水柱喷到2m处为2处 依伯努力方程有：
1212?v1?P2??gh??v222P1?P2?P0(2)P1?QV?v1s1?v2s2?(1)60?1m3/s(3)60112有以上三式得:v1????104m/s?4s11.5?1032v2?v1?2gh?4?108?2?10?2?2.11?103m/s9s2?
1?4.7?10?4m2?4.7cm2v23 / 12