实变函数期末练习题

实变函数期末练习题(1-4)

姓名 班级

练习1

一、单项选择题

1、下列各式正确的是( )

(A)limAn???Ak; (B)limAn???Ak;

n??n?1k?n??n??n?1k?n??????(C)limAn???Ak; (D)limAn???Ak;

n??n?1k?nn??n?1k?n2、设P为Cantor集,则下列各式不成立的是( ) (A)P? c (B) mP?0 (C) P?P (D) P?P

'?3、下列说法不正确的是( )

(A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测

4、设?fn(x)?是E上的a.e.有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) (A)若fn(x)?f(x), 则fn(x)?f(x) (B) sup?fn(x)?是可测函数

n(C)inf?fn(x)?是可测函数; (D)若fn(x)?f(x),则f(x)可测 n5、设f(x)是[a,b]上有界变差函数,则下面不成立的是( ) (A) f(x)在[a,b]上有界 (B) f(x)在[a,b]上几乎处处存在导数 (C)f(x)在[a,b]上L可积 (D) ?af'(x)dx?f(b)?f(a)

'b二. 填空题

1、(CsA?CsB)?(A?(A?B))?_________

2、设E是?0,1?上有理点全体,则E'=______,E=______,E=______.

3、设E是Rn中点集,如果对任一点集T都_________________________________,

o(第1页,共13页)

则称E是L可测的

4、f(x)可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”,“必要”,“充要”)

5、设f(x)为?a,b?上的有限函数,如果对于?a,b?的一切分划,使

_____________________________________,则称f(x)为 ?a,b?上的有界变差函数。

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明. 1、设E?R1,若E是稠密集,则CE是无处稠密集。 2、若mE?0,则E一定是可数集.

3、若|f(x)|是可测函数,则f(x)必是可测函数

4.设f(x)在可测集E上可积分,若?x?E,f(x)?0,则?Ef(x)?0 四、解答题

?x2,x为无理数1、设f(x)?? ,则f(x)在?0,1?上是否R?可积,是否L?可积,若可积,

1,x为有理数?求出积分值。 2、求limn?0

五、证明题.

1、证明?0,1?上的全体无理数作成的集其势为c.

?ln(x?n)?xecosxdx n(第2页,共13页)

2、设f(x)是???,???上的实值连续函数,则对于任意常数a,E?{x|f(x)?a}是闭集。

3、在?a,b?上的任一有界变差函数f(x)都可以表示为两个增函数之差。

n?men?0. 4、设mE??,f(x)在E上可积,en?E(|f|?n),则limn

5、设f(x)是E上a.e.有限的函数,若对任意??0,存在闭子集F??E,使f(x)在F?上连续,且m(E?F?)??,证明:f(x)是E上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)

(第3页,共13页)

练习2

一.单项选择题

1.设M,N是两集合,则 M?(M?N)=( ) (A) M (B) N (C) M?N (D) ? 2. 下列说法不正确的是( )

(A) P0的任一领域内都有E中无穷多个点,则P0是E的聚点 (B) P0的任一领域内至少有一个E中异于P0的点,则P0是E的聚点 (C) 存在E中点列?Pn?,使Pn?P0,则P0是E的聚点 (D) 内点必是聚点

3. 下列断言( )是正确的。

(A)任意个开集的交是开集;(B) 任意个闭集的交是闭集; (C) 任意个闭集的并是闭集;(D) 以上都不对; 4. 下列断言中( )是错误的。

(A)零测集是可测集; (B)可数个零测集的并是零测集; (C)任意个零测集的并是零测集;(D)零测集的任意子集是可测集; 5. 若f(x)是可测函数,则下列断言( )是正确的 (A) f(x)在?a,b?L?可积?|f(x)|在?a,b?L?可积; (B) f(x)在?a,b?R?可积?|f(x)|在?a,b?R?可积 (C) f(x)在?a,b?L?可积?|f(x)|在?a,b?R?可积; (D) f(x)在?a,???R?广义可积?f(x)在?a,+??L?可积 二. 填空题

1、设An?[,2?],n?1,2,?,则limAn?_________。

n??1n1n(第4页,共13页)

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