2008年全国高考理科数学试题及答案-全国卷1

|OA|?OF2?AF2?a。

因为|AB|2

+|OA|2

=|OB|2

,且 |OB|=2|AB|-|OA|,

所以|AB|2

+|OA|2

=(2|AB|-|OA|)2

于是得tan∠AOB=|AB||OA|?43。 又BF与FA同向,故∠AOF=12∠AOB, 所以 2tan?AOF1?tan2?AOF?43 解得

tan∠AOF=

12,或tan∠AOF=-2(舍去)。 因此

ba?12,a?2b,c?a2?b2?5b。 所以双曲线的离心率e=

c5a=2 (Ⅱ)由a=2b知,双曲线的方程可化为

x2

-4y2

=4b2

① 由l1的斜率为

12,c=5b知,直线AB的方程为 y=-2(x-5b) ② 将②代入①并化简,得 15x2

-325bx+84b2

=0

设AB与双曲线的两交点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则

x325b84b21+x2=15,x1·x2=15 ③

AB被双曲线所截得的线段长

l=1?(?2)2?|x1?x2|?5[(x1?x22)?4x1x2] ④将③代入④,并化简得l=

4b3,而由已知l=4,故b=3,a=6 x2y2所以双曲线的方程为

36?9?1

9

22、解: (I)当00

所以函数f(x)在区间(0,1)是增函数, (II)当0x 又由(I)有f(x)在x=1处连续知, 当0

因此,当0

(i)由0

(III)由(II)知,{an}逐项递增,故若存在正整数m≤k,使得am≥b,则ak+1>am≥b 否则,若am

=ak-1-ak-1lnak-1-aklnak …… =a1-

?m?1kkamlnam

由③知

?m?1amlnam

于是ak+1>a1+k|a1lnb|

≥a1+(b-a1)=b

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