1. 均值不等式法
n(n?1)(n?1)2?Sn?. 例1 设Sn?1?2?2?3???n(n?1).求证
22例2 已知函数
f(x)?11?a?2bx12n?1，若f(1)?4，且f(x)在[0，1]上的最小值为1，求证：
25f(1)?f(2)???f(n)?n?例3 求证C1n2n3n1?. 2n?12?C?C???C?n?222?an?1，x12?x2?nn(n?1,n?N).
22例4 已知a1?a2?2?xn?1，求证：a1x1?a2x2???anxn≤1.
2．利用有用结论
例5 求证(1?1)(1?111)(1?)?(1?)?2n?1. 352n?1例6 已知函数
求证：
1?2x?3x???(n?1)x?a?nxf(x)?lg,0?a?1,给定n?N?,n?2.
nf(2x)?2f(x)(x?0)对任意n?N?且n?2恒成立。 ?1,an?1?(1?11)a?. nn2?n2n例7 已知a1(I)用数学归纳法证明an?2(n?2)；
(II)对ln(1?x)?x对x?0都成立，证明an?e2（无理数e?2.71828例8 已知不等式
）
11??23?11?[log2n],n?N?,n?2。[log2n]表示不超过log2n的最大整数。设正数数列n2{an}满足：a1?b(b?0),an?再如：设函数
nan?12b,n?2.求证an?,n?3.
n?an?12?b[log2n]f(x)?ex?x。
（Ⅰ）求函数
f(x)最小值；（Ⅱ）求证：对于任意n?N?，有
kne()?. ?e?1k?1n
n例9 设an
1?(1?)n，求证：数列{an}单调递增且an?4.
n3. 部分放缩
11例10 设an?1?a?a?32例11 设数列
?1,a?2,求证：an?2. an?an?满足an?1?an2?nan?1?n?N??，当a1?3时证明对所有n?1, 有：
(i)an?n?2； (ii)1?1?a1111????.
1?a21?an24 . 添减项放缩
2n8()?例12 设n?1,n?N，求证. 3(n?1)(n?2)例13 设数列{a}满足a1?2,an?1?an?n1(n?1,2,?). 证明an?2n?1an5 利用单调性放缩: 构造函数
对一切正整数n成立；
111132x?[,]f(x)?. 例14 已知函数f(x)?ax?x的最大值不大于，又当时
42862 （Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设0?a1?11. ,an?1?f(an),n?N?，证明an?n?122?a??,n?N． ?xn?例15 数列
?xn?由下列条件确定：x1?a?0，xn?1?1???xn??2总有xn（I） 证明：对n
?a；(II) 证明：对n?2总有xn?xn?1
6 . 换元放缩
例16 求证1?nn?1?2(n?N?,n?2). n?1nn2(a?1)2例17 设a?1，n?2,n?N，求证a?4
.
7 转化为加强命题放缩
例18 设0?a?1，定义a1?1?a,an?11??a，求证：对一切正整数n有an?1. an2xn1例19 数列?xn?满足x1?,xn?1?xn?2.证明x2001?1001.
2n 例20 已知数列｛an｝满足：a1＝
32，且an＝
3nan－1（n?2，n?N?）
2an－1＋n－1（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）证明：对一切正整数n有a1?a2?……an?2?n！
8. 分项讨论
例21 已知数列{an}的前
（Ⅰ）写出数列
n项和
Sn满足Sn?2an?(?1)n,n?1.
{an}的前3项a1,a2,a3； （Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）证明：对任意的整数
9. 借助数学归纳法
例22（Ⅰ）设函数
（Ⅱ）设正数
m?4，有
1117?????. a4a5am8f(x)?xlog2x?(1?x)log2(1?x) (0?x?1)，求f(x)的最小值； p1,p2,p3,?,p2n满足p1?p2?p3???p2n?1，求证：
p1log2p1?p2log2p2?p3log2p3???p2nlog2p2n??n
10. 构造辅助函数法
例23 已知
f(x)= 3?4x?2xln2,数列?an?满足?1?a1?0, 21?a2n?1?f?an? n?N*
??（1）求
1?1?0?上的最大值和最小值; （2）证明：??an?0; f(x)在??，2?2??（3）判断an与an?1(n?N例24 已知数列{an}的首项a1)的大小，并说明理由.
?3an3，an?1?，n?1，2，2an?15．
（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的x?0，an≥1?1?x1?2?，2，； ?x?，n?12?n(1?x)?3?（Ⅲ）证明：a1?a22
?n2?an?．
n?1*
例25 已知函数f(x)=x-1(x>0)，设曲线y=f(x)在点（xn,f(xn)）处的切线与x轴的交点为（xn+1,0）(n∈N). (Ⅰ) 用xn表示xn+1； （Ⅱ）求使不等式xn?1?xn对一切正整数n都成立的充要条件，并说明理由；
1112n?1（Ⅲ）若x=2，求证：?????.
1?x11?x21?xn31
例1 解析 此数列的通项为aknn?k(k?1),k?1,2,?,n.?k?k(k?1)?k?k?1?k?1，
221n(n?1)n(n?1)n(n?1)2??k?Sn??(k?)，即?Sn???.
22222k?1k?1注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式
ab?a?b，若放成k(k?1)?k?1则2(n?1)(n?3)(n?1)2得Sn??(k?1)?，就放过“度”了！ ?22k?1n②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里