5．1 数列的概念与表示
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一、选择题
1．(2018·海南三亚一模)在数列1,2，7，10，13，…中，219是这个数列的( ) A．第16项 B．第24项 C．第26项 D．第28项 答案 C
解析 设题中数列为{an}，则a1＝1＝1，a2＝2＝4，a3＝7，a4＝10，a5＝13，…，所以an＝3n－2.令3n－2＝219＝76，解得n＝26.故选C.
2．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N都有a1·a2·a3·…·an＝n，则a3＋a5
＝ ( )
61252531A. B. C. D. 1691615答案 A
92561
解析 解法一：令n＝2,3,4,5，分别求出a3＝，a5＝，∴a3＋a5＝.故选A.
41616解法二：当n≥2时，a1·a2·a3·…·an＝n，a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1). 两式相除得an＝?
2
2
*
2
?n?2，∴a＝9，a＝25，
?35
416?n－1?
61
∴a3＋a5＝.故选A.
16
3．(2018·安徽江南十校联考)在数列{an}中，an＋1－an＝2，Sn为{an}的前n项和．若S10
＝50，则数列{an＋an＋1}的前10项和为( )
A．100 B．110 C．120 D．130 答案 C
解析 {an＋an＋1}的前10项和为a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a11＝2(a1＋a2＋…＋a10)＋a11
－a1＝2S10＋10×2＝120.故选C.
3*
4．(2018·广东测试)设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝(an－1)(n∈N)，则an＝( )
2A．3(3－2) C．3 答案 C
3
a＝S＝??2
解析 由题意知?3
a＋a＝??2
1
1
1
2
nnB．3＋2 D．3·2
n－1
nn
a1－a2－
，，
??a1＝3，
解得?
?a2＝9，?
代入选项逐一检验，只有
C符合．故选C.
1
5．(2018·金版原创)对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的( )
A．必要不充分条件 C．充要条件 答案 B
解析 当an＋1＞|an|(n＝1,2，…)时，∵|an|≥an，
∴an＋1＞an，∴{an}为递增数列．当{an}为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a2＞|a1|不成立 ，即an＋1＞|an|(n＝1,2，…)不一定成立．故综上知，“an＋1＞|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．故选B.
17*
6．已知数列{an}满足：a1＝，对于任意的n∈N，an＋1＝an(1－an)，则a1413－a1314＝( )
722233
A．－ B. C．－ D.
7777答案 D
1716373467613
解析 a1＝，a2＝××＝，a3＝××＝，a4＝××＝，….
7277727772777
633
归纳可知当n为大于1的奇数时，an＝；当n为正偶数时，an＝.故a1413－a1314＝.故选
777D.
7．(2018·江西期末)定义
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
np1＋p2＋…＋pn为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若已
1an知数列{an}的前n项的“均倒数”为，又bn＝.则b10等于( )
5n5
A．15 B．17 C．19 D．21 答案 C 解析 由
na1＋a2＋…＋an＝122
得Sn＝a1＋a2＋…＋an＝5n，则Sn－1＝5(n－1)(n≥2)，an5n＝Sn－Sn－1＝10n－5(n≥2)，当n＝1时，a1＝5也满足．故an＝10n－5，bn＝2n－1，b10＝2×10－1＝19.故选C.
?－ax＋2，x≤2，?
8．(2018·西安模拟)已知函数f(x)＝?
??a2x2－9x＋11，x>2
*
(a>0且a≠1)，若数列{an}满足an＝f(n)(n∈N)，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( )
?8?A．(0,1) B.?，3? C．(2,3) D．(1,3)
?3?
答案 C
解析 因为{an}是递增数列，所以 3－a>0，??
?a>1，??－a
＋2 2 解得2 2 (2,3)．故选C. 9．(2018·广东三校期末)对于数列{xn}，若对任意n∈N，都有数列{xn}为“减差数列”．设bn＝2t－数t的取值范围是( ) A．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) 答案 C 解析 由数列b3，b4，b5，…是“减差数列”， 得 B．(－∞，－1] D．(－∞，1] * xn＋xn＋2 2 tn－1 2 n－1 ，若数列b3，b4，b5，…是“减差数列”，则实 bn＋bn＋2 22 tn－1 ntn＋ 2 n＋2－1t<2t－n＋ 2 n－1， tn－1tn＋ 2 n＋2 n＋2 －1t> n＋ 2 n－1. 化简得t(n－2)>1. 当n≥3时，若t(n－2)>1恒成立，则t>又当n≥3时， 1 恒成立， n－2 1 的最大值为1，则t的取值范围是(1，＋∞)．故选C. n－2 (n∈N)．若bn＋1＝(nan＋2 10．(2018·湖北八校模拟)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝ an* 3?1?* －2λ)·?＋1?(n∈N)，b1＝－λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是 2?an?( ) 432 A．λ＜ B．λ＜1 C．λ＜ D．λ＜ 523答案 A 解析 ∵数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝∴an>0，1 (n∈N)， an＋2 an* an＋1an? 21?1?＝＋1，则＋1＝2?＋1?， an＋1 ?an? ?1?11n∴数列?＋1?是等比数列，且首项为＋1＝2，公比为2，∴＋1＝2. ?ana1an?1?n* ∴bn＋1＝(n－2λ)?＋1?＝(n－2λ)·2(n∈N)， ?an? ∴bn＝(n－1－2λ)·2∴bn＋1＞bn， ∴(n－2λ)·2＞(n－1－2λ)·2 nn－1 n－1 (n≥2)， ∵数列{bn}是单调递增数列， (n≥2)， 3