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26.5特征值与特征向量矩阵地简单应用
【知识网络】
1、矩阵特征值与特征向量地定义,能从几何变换地角度说明特征向量地意义； 2、会求二阶方阵地特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数地情形）；
3、了解三阶或高阶矩阵； 4、矩阵地应用. 【典型例题】
例1：（1）、已知a?5,且 a?(4,n),则n地值是（ ） A．3 B．－3 C．±3 D．不存在 答案：C.解析：a?42?n2?5,解得n=±3.
）
?3 0??3??0 1??1?????10 （
( )b5E2RGbCAP 2=
?39??310??312??311? A、?? B、?? C、?? D、??
?1??1??1??1??3 0??3??310 0??3??311?答案：C.解析：????????????.
0 110 1???????1??1?10（3）设某校午餐有A、B两种便当选择,经统计数据显示,今天订A便当地人,隔天再订34A便当地机率是；订B便当地人,隔天再订B便当地机率为,已知星期一有40%地同学订
55了A便当,60%地同学订了B便当,则星期四时订A便当同学地比率为 （）p1EanqFDPw A、
208209210211 B、 C、 D、 625625625625?31??4739??2??211? ?55????5??625?3125125答案：D.解析：设M=??,则M???????. 2478863414? ??????? ????????55??125125??5??625???12???5 （4）矩阵??3???地特征值是. ?2?答案：-4或2.解析：矩阵M地特征值?满足方程
??1-252
=(?-1) (?+3)-(-)(-2)=?+2?-8=0 52-??32解得,矩阵M地两个特征值?1=-4,?2=2.
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（5）一实验室培养两种菌,令?an?和?bn?分别代表两种培养菌在时间点n地数量,彼此有如下地关系an?1?2(an?bn),bn?1?2bn(n?0,1,2),若二阶矩阵A=?满足?n+b??A?n?,??c d??bn??cn+3?（其中n=0,1,2…）,则a?,b?,c?,d?.DXDiTa9E3d 答案：8,24,0,8.解析：??an?3?2an?2bn?an?2?4an?8bn?an?3?8an?24bn, ????b?2bb?4bb?8bnnn?n?1?b?2?n?3?a b??a??a?故??an+3??8 24??an??????b?得a?8,b?24,c?0,d?8. b0 8??n??n+3??例2：根据下列条件试判断M? 是否与? 共线
30?x-12?3,非零向量? =??⑵ M=?,? =?? ?????03???23???-2???y??30??x??3x??x?答案：⑴ M?=?==3
??03????3y????y????y??⑴M=?所以M?与?共线.
-12??3??-7?-73⑵ M?=?= 而??与??不共线. 即此时M?与?不共线.
????0???23????-2???0????-2???-12?例3：求矩阵M=?5?地特征值和特征向量
???23?答案：矩阵M地特征值?满足方程
??1-2525=(?+1) (?-3)-(-)(-2)=?-2?-8=0 -22?-3解得,矩阵M地两个特征值?1=4,?2=-2
x⑴设属于特征值?1=4地特征向量为??,则它满足方程：
??y??(?1+1)x+(-2)y=0 即：（4+1）x+(-2)y=0 也就是 5 x-2y=0 则可取??为属于特征值?1=4地一个特征向量
?2??5?x⑵设属于特征值?1=-2地特征向量为??,则它满足方程：
??y??(?2+1)x+(-2)y=0
即：（-2+1）x+(-2)y=0 也就是 x+2y=0
-2?为属于特征值?2=-2地一个特征向量 ??1???-12?综上所述：M=?5? 有两个特征值?1=4,?2=-2,
???23? 则可取?2 / 9
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?2?-2属于?1=4地一个特征向量为??,属于?2=-2地一个特征向量为??.
??1???5?例4：已知：矩阵M=?5?-12??1? 求M3? ,向量 =????16????3?2?1-2答案：由上题可知?1 =??,?2 =??是矩阵M分别对应特征值?1=4,?2=-2地两个特征??5????1??向量,而?1 与?2 不共线.又 ? =??1??16??=3?1???5??+??-2??1??=3?1+?2RTCrpUDGiT ∴M3?= M3（3?+?3333312）=3 M?1+ M?2 =3?1?1+?2?2=3×4??1?3
-2?5??+（-2）×????1?? = 192×??1?5???-8×???1-2???=??192?192??15??(-8)(-8)??(-2)1???=??208??952??.
【课内练习】
1．a＝(3,－1),b＝(－1,2),则－3a－2b地坐标是( ) A．(7,1) B．(－7,－1) C．(－7,1) D．(7,－1) 答案：B. 2．矩阵4 2????地特征值是 （ ?2 1?5PCzVD7HxA A、0和5 B、0和—5 C、1和4 D、—1和—4
答案：A.解析：由已知f(?)?(??4)(??1)?4??2?5??0,解得?1?0,?2?5.
3．下图为一个网络,则一级路矩阵为（）
B A
CD??0 1 1 2??0 1 2 2??0 2 2 2??0 2 2 2?A、?1 0 1 0??1 0 1 2???? B、?? C、?2 0 2 1??? D、?2 0 2 2?? ?1 1 0 0??2 0 0 0????2 1 0 0??2 2 0 0????2 2 0 0??2 2 0 2??2 1 0 0????2 2 2 0??答案：A. 4．矩阵A=??1 4??2 3?地特征多次式为. ?答案：?2?4??5.解析：f(?)???1 -4-2 ?-3??2?4??5.
5．设A是一个二阶矩阵,满足A?1??0??3?1???1??1????0??,且A??3???6??3??,则A=.
答案：3 1????a b?0 6??.解析：设A=???c d??, 则a?3,c?0,a?3b?6,c?3d?18,?a?3,b?1,c?0.d?6.
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