课下能力提升(二十) 点到直线的距离
xy
1．点P(m－n，－m)到直线＋＝1的距离等于________．
mn
2．直角坐标系中第一象限内的一点P(x，y)到x轴、y轴及直线x＋y－2＝0的距离都相等，则x等于________．
3．已知点P(m，n)在直线2x＋y＋1＝0上运动，则m2＋n2的最小值为________． 4．不论m为何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5过定点________．
435．一直线过点P(2,0)，且点Q(－2，)到该直线的距离等于4，则该直线的倾斜角为
3________．
6．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，若l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，求a，b的值．
7．已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程．
8．直线l过点P(1,0)，且被两条平行线l1：3x＋y－6＝0，l2：3x＋y＋3＝0所截得的线段长为9，求l的方程．
答案
xy
1．解析：先将直线方程＋＝1化成一般式：nx＋my－mn＝0，所以点P(m－n，－m)
mn|n?m－n?＋m?－m?－mn|
到直线nx＋my－mn＝0的距离为d＝＝
m2＋n2答案：
m2＋n2
|x＋y－2|
＝|x|. 2
m2＋n2.
2．解析：由题意知，|x|＝|y|且
又x＞0，y＞0，所以2x－2＝±2x，x＝2±2. 答案：2±2
3．解析：要求m2＋n2的最小值，只需求m2＋n2的最小值，即直线2x＋y＋1＝0上的点P(m，n)与原点的最小值，也就是原点到直线的距离，由d＝1小值为.
5
1答案： 5
??x＋2y－1＝0，
4．解析：直线方程可化为(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0.由?得
?－x－y＋5＝0，?
15＝.知m2＋n2的最2252＋1
??x＝9，?.故直线过定点(9，－4)． ?y＝－4?
答案：(9，－4)
5．解析：当过P点的直线垂直于x轴时，Q点到直线的距离等于4，此时直线的倾斜角为90°，当过P点的直线不垂直于x轴时，直线斜率存在，
设过P点的直线为y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0. 43
|－2k－－2k|
33
由d＝＝4，解得k＝.
3k2＋1∴直线的倾斜角为30°. 答案：90°或30°
6．解：∵l2的斜率存在，l1∥l2， ∴直线l1的斜率存在， a
∴k1＝k2，即＝1－a.①
b
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2， 4
∴l1、l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b，②
b
??a＝2，?a＝，?
则联立①②解得?或?3
??b＝－2，?
2
?b＝2.
7．解：由直线l1，l2的方程知l1∥l2，又由题意知，直线l与l1，l2均平行(否则d1＝0或d2＝0，不符合题意)．
|m＋1|
设直线l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)，由两平行线间的距离公式，得d1＝，
13|m＋13|d2＝，又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|，
13
解得m＝－25或m＝－9.
故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0. 8．解：若l的斜率不存在，则方程为x＝1，
??x＝1，由?得A(1,3)． ?3x＋y－6＝0，???x＝1，由?得B(1，－6)． ??3x＋y＋3＝0，
∴|AB|＝9，符合要求．
若l的斜率存在，设为k，则l的方程为y＝k(x－1)．
??y＝k?x－1?，k＋63k由?得A(，)，
k＋3k＋3?3x＋y－6＝0，???y＝k?x－1?，k－3－6k
由?得B(，)．
k＋3k＋3?3x＋y＋3＝0，?
∴|AB|＝ ＝9
k＋6k－323k－6k2?－?＋?－? k＋3k＋3k＋3k＋3
1＋k2. ?k＋3?21＋k24
由|AB|＝9，得2＝1，∴k＝－. 3?k＋3?4
∴l的方程为y＝－(x－1)，即4x＋3y－4＝0.
3综上所述，l的方程为x＝1或4x＋3y－4＝0.