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第13章 球函数
第十三章 球函数 在球坐标系下， 三类问题关于空间部分变量分离成 l 阶球贝塞尔方程和 l 阶球函数方程()222222222[1sin1(0sin1)]0d lYlRdrdr?塞
尔
方
程
:
(
)(
)22221102x
RdRrrk
rlYYl
对于 l 阶球贝kr=R
rY
xxd
????? ???? ?+++= 其
解为：
11112222()()()lllly
而球函数方程可进一步分离变量 ()()
(
),cossinYAmBm
???=+
()()()222221210cos1ddmxxl
轴对称球函数 当所考虑的问题具
有轴对称时， 选取对称轴作为极轴 z,则所考虑的问题和? 无关。 这时球函数 (),Y ? 退化为 l 阶勒让德方程的解， 即 (?)(
取 整 数选 取 对 称 轴 为z轴所 考 虑
问题 在 =0，有 意 义 其解退化为 l 阶多项式称为勒让德多项式， 记为(cos )lP 。
44.1 勒让德多项式 ① 幂指数形式。
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l 阶勒让德方程的解为0011( )y x( )( )a y xa y x=+ 2420()(1)(2)()(1)(3)(22)(24)()(1)(23)(21)( )12!4!(2 )!kkl lll
llklkll
llklky
xxxx+++
+++=
llklklkxk+ +
1(21)(23)(1)(2)(22)(24)(2(2) 1)!+kklkll llklkxk++ +
当 l=2k 时，0( )y x 退化为2klxx=为最高指数
的多项式； l=2k+1 时，1( )y x 退化为21klxx+=为最高指数的多项式。
即 无 论 l 为 偶 数 还 是 奇 数 总 有 一 特 解 为 勒 让 德 多 项 式0( )P x( )llP x= 若调整勒让德多项式（无论 l 为偶数还是奇数） 最高次幂 xl的系数2(2 )!ll2 ( !)lla=， 则利用递推关系 2(1)(2)(1)kkk kaak l k l+ +=，可 将 其 余 系 数 一 一 指 出 ： 2(1)(22)!(
1)=
2(21)2
(1)!(2)!lllll
llaalll+=
2(22 )!n( 1)= !2 ()!(2 )!nnlnllanlnl， 则勒让德多项式为
==
或， 前几个勒让德多项式为：
P0(x)=1, P1(x)=x, ( )221P(31)2xx=, ( )P331(53 )x2xx=,
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( )x4241P(35303)8xx=+ ② 勒让德多项式的微分形式 ( )x21lP(1)2 !lllldxl dx= ③ 勒让德多项式的积分形式 ()01P cosl[cossin cos ]lid??
， 容易证明( )|P| 1lx ，( )|P 1 |
1l= 44.2 勒让德多项式的性质 ① 奇数阶勒让德多项式只含有 x 的奇次幂项， 偶数阶勒让德多项式只含有 x 的偶次幂项 ② 不 同 的 勒 让 德 多 项 式 在 区 间 （ -1 ，+1 ） 上 正 交 ，而1( )
。
③ 勒让德多项式的模
勒
让德多项式是完备的， 可作为基本函数族进行广义傅里叶展开011(
)f
x(
)2(
)
(
)f
x
P
x
dx21lllllfP
母函数与递推公式 由 于勒让德
多 项式乘以 R(r)是具有轴对称性， 角 在0均有意义的稳定场的特解。
因此， 在半径为 R 的球的北极置04的单位正电荷的电势应为稳定场的解， 于是有 ()122019l()P cosl2cosl lllA
。
因此2212cosRrrR+称为勒让德多项式的母函数。
利用函数可推出 11(1)( ) (2P x+1)( )( ) 0kkkkkxP x kP x+++= 练习 P344.3 45. 一般的球函数 球函数方程： ()22211sin10sinsinYYl (
),cossinYAmBm??=+
lY?
?)()
()()()222221210cos1ddmxxl
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