2020高中数学 第三章直线与圆锥曲线的交点课时作业 北师大版选修2-1

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3.4.2-4.3 圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点

[基础达标]

1.过点(2,4)作直线与抛物线y2=8x只有一个公共点,这样的直线有( ) A.1条 C.3条

B.2条 D.4条

解析:选B.易知点(2,4)在抛物线上,从而这样的直线有两条,一条为切线,一条与x轴平行. 2.方程(x-1)2+(y-1)2=|x+y+2|表示的曲线是( ) A.椭圆 C.抛物线

2

2

B.双曲线 D.线段

解析:选B.∵(x-1)+(y-1)=|x+y+2|, (x-1)+(y-1)∴=2>1.

|x+y+2|

2

∴由圆锥曲线的共同特征知该方程表示双曲线. 3.曲线y=1-x2和y=-x+2 公共点的个数为( ) A.3 C.1

2

2

2

2

2

B.2 D.0

在同一坐标系中

解析:选C.y=1-x可化为x+y=1(y≥0),其图形为半圆,画出两曲线的图形,直线与半圆相切.

4.若椭圆上的点P到一个焦点的距离最小,则点P是( ) A.椭圆短轴的端点 C.不是椭圆的顶点

B.椭圆长轴的一个端点 D.以上都不对

解析:选B.由圆锥曲线的共同特征知,点P到右焦点的距离

a2

|PF2|=de=(-x0)e=a-ex0.

c当x0=a时,|PF2|最小. 5.直线l:y=x+3与曲线-

9A.0 C.2

y2x·|x|

4

=1交点的个数为( ) B.1 D.3

解析:选D.当x≤0时,曲线方程可化为+=1,即椭圆y轴左侧部分;当x>0时,曲线方程可化为

499-=1,即双曲线y轴右侧部分,如图可知直线y=x+3与曲线有三个交点.

4

x2y2y2

x2

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6.已知斜率为1的直线过椭圆+y2=1的右焦点交椭圆于A,B两点,则弦AB的长是________.

4

x2

??y=x-32

解析:由?x2,得5x-83x+8=0. 2

+y=1??4

∴设A(x1,y1),B(x2,y2), 833

∴x1+x2=,e=,

52|AB|=2×2-e(x1+x2)=4-8

答案: 5

3838×=. 255

x22

7.已知双曲线2-y=1(a>0)的一条准线与抛物线y2=-6x的准线重合,则a=________.

a32

解析:抛物线y=-6x的准线方程为x=.

2

a23

由双曲线准线方程的求法得=,

c2

又b=1,c=a+b,∴c=a+1,

2

2

2

2

2

32

∴a=c.

2

312

即c=c+1,解得c=2或c=-(舍去),∴a=3.

22答案:3

8.直线y=kx+1与曲线mx2+5y2=5m(m>0)恒有公共点,则m的取值范围是________. 解析:将y=kx+1代入mx+5y=5m,

得(m+5k)x+10kx+5(1-m)=0,对k∈R,总有实数解. ∴Δ=20m(m-1+5k)≥0,对k∈R恒成立. ∵m>0,∴m≥1-5k恒成立,∴m≥1. 即m的取值范围为[1,+∞). 答案:[1,+∞)

1

9.一动点到定直线x=3的距离是它到定点F(4,0)的距离的,求这个动点的轨迹方程.

2

解:法一:由题意知,动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为2,则动点的轨迹为双曲线,且离心率e==2.

22

2

2

2

2

ca 精品

又定点F(4,0)与定直线x=3是双曲线相应的右焦点和右准线,得c-=4-3=1.

ac2

a2

又∵c=2a且c-=1,

c24∴a=且c=,

33

?8?∴双曲线的中心O′的坐标为?,0?.

?3??4??2?4

又b=c-a=??-??=,

?3??3?3

2

2

2

22

∴双曲线的方程为

?x-8??3???

2?2??3???

2

-=1. 43

y2

法二:由题意知,设动点为P(x,y), 122

则|x-3|= (x-4)+y,

211222

两边平方,得(x-3)=(x-4)+y.

44

化简,得

?x-8?

?3???

2?2??3???

2

-=1即为所求. 43

y2

10.已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2). (1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;

(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于

5

?若存在,求直线l的方程;若不存在,说明理由. 5

2

2

解:(1)将(1,-2)代入y=2px, 得(-2)=2p·1,所以p=2.

故所求抛物线C的方程为y=4x,其准线方程为x=-1. (2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t,

??y=-2x+t2由?2消去x,得y+2y-2t=0. ?y=4x?

2

因为直线l与抛物线C有公共点, 1所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.

2由直线OA与l的距离等于5|t|5

可得=,解得t=±1. 555

11

因为-1?[-,+∞),1∈[-,+∞),

22

所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.

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