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3.4.2-4.3 圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点
[基础达标]
1.过点(2,4)作直线与抛物线y2=8x只有一个公共点,这样的直线有( ) A.1条 C.3条
B.2条 D.4条
解析:选B.易知点(2,4)在抛物线上,从而这样的直线有两条,一条为切线,一条与x轴平行. 2.方程(x-1)2+(y-1)2=|x+y+2|表示的曲线是( ) A.椭圆 C.抛物线
2
2
B.双曲线 D.线段
解析:选B.∵(x-1)+(y-1)=|x+y+2|, (x-1)+(y-1)∴=2>1.
|x+y+2|
2
∴由圆锥曲线的共同特征知该方程表示双曲线. 3.曲线y=1-x2和y=-x+2 公共点的个数为( ) A.3 C.1
2
2
2
2
2
B.2 D.0
在同一坐标系中
解析:选C.y=1-x可化为x+y=1(y≥0),其图形为半圆,画出两曲线的图形,直线与半圆相切.
4.若椭圆上的点P到一个焦点的距离最小,则点P是( ) A.椭圆短轴的端点 C.不是椭圆的顶点
B.椭圆长轴的一个端点 D.以上都不对
解析:选B.由圆锥曲线的共同特征知,点P到右焦点的距离
a2
|PF2|=de=(-x0)e=a-ex0.
c当x0=a时,|PF2|最小. 5.直线l:y=x+3与曲线-
9A.0 C.2
y2x·|x|
4
=1交点的个数为( ) B.1 D.3
解析:选D.当x≤0时,曲线方程可化为+=1,即椭圆y轴左侧部分;当x>0时,曲线方程可化为
499-=1,即双曲线y轴右侧部分,如图可知直线y=x+3与曲线有三个交点.
4
x2y2y2
x2
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6.已知斜率为1的直线过椭圆+y2=1的右焦点交椭圆于A,B两点,则弦AB的长是________.
4
x2
??y=x-32
解析:由?x2,得5x-83x+8=0. 2
+y=1??4
∴设A(x1,y1),B(x2,y2), 833
∴x1+x2=,e=,
52|AB|=2×2-e(x1+x2)=4-8
答案: 5
3838×=. 255
x22
7.已知双曲线2-y=1(a>0)的一条准线与抛物线y2=-6x的准线重合,则a=________.
a32
解析:抛物线y=-6x的准线方程为x=.
2
a23
由双曲线准线方程的求法得=,
c2
又b=1,c=a+b,∴c=a+1,
2
2
2
2
2
32
∴a=c.
2
312
即c=c+1,解得c=2或c=-(舍去),∴a=3.
22答案:3
8.直线y=kx+1与曲线mx2+5y2=5m(m>0)恒有公共点,则m的取值范围是________. 解析:将y=kx+1代入mx+5y=5m,
得(m+5k)x+10kx+5(1-m)=0,对k∈R,总有实数解. ∴Δ=20m(m-1+5k)≥0,对k∈R恒成立. ∵m>0,∴m≥1-5k恒成立,∴m≥1. 即m的取值范围为[1,+∞). 答案:[1,+∞)
1
9.一动点到定直线x=3的距离是它到定点F(4,0)的距离的,求这个动点的轨迹方程.
2
解:法一:由题意知,动点到定