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3.4.2-4.3 圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点
[基础达标]
1.过点(2，4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有( ) A．1条 C．3条
B．2条 D．4条
解析：选B.易知点(2，4)在抛物线上，从而这样的直线有两条，一条为切线，一条与x轴平行． 2.方程（x－1）2＋（y－1）2＝|x＋y＋2|表示的曲线是( ) A．椭圆 C．抛物线
2
2
B．双曲线 D．线段
解析：选B.∵（x－1）＋（y－1）＝|x＋y＋2|， （x－1）＋（y－1）∴＝2>1.
|x＋y＋2|
2
∴由圆锥曲线的共同特征知该方程表示双曲线． 3.曲线y＝1－x2和y＝－x＋2 公共点的个数为( ) A．3 C．1
2
2
2
2
2
B．2 D．0
在同一坐标系中
解析：选C.y＝1－x可化为x＋y＝1(y≥0)，其图形为半圆，画出两曲线的图形，直线与半圆相切．
4.若椭圆上的点P到一个焦点的距离最小，则点P是( ) A．椭圆短轴的端点 C．不是椭圆的顶点
B．椭圆长轴的一个端点 D．以上都不对
解析：选B.由圆锥曲线的共同特征知，点P到右焦点的距离
a2
|PF2|＝de＝(－x0)e＝a－ex0.
c当x0＝a时，|PF2|最小． 5.直线l：y＝x＋3与曲线－
9A．0 C．2
y2x·|x|
4
＝1交点的个数为( ) B．1 D．3
解析：选D.当x≤0时，曲线方程可化为＋＝1，即椭圆y轴左侧部分；当x＞0时，曲线方程可化为
499－＝1，即双曲线y轴右侧部分，如图可知直线y＝x＋3与曲线有三个交点．
4
x2y2y2
x2
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6.已知斜率为1的直线过椭圆＋y2＝1的右焦点交椭圆于A，B两点，则弦AB的长是________．
4
x2
??y＝x－32
解析：由?x2，得5x－83x＋8＝0. 2
＋y＝1??4
∴设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 833
∴x1＋x2＝，e＝，
52|AB|＝2×2－e(x1＋x2)＝4－8
答案： 5
3838×＝. 255
x22
7.已知双曲线2－y＝1(a>0)的一条准线与抛物线y2＝－6x的准线重合，则a＝________．
a32
解析：抛物线y＝－6x的准线方程为x＝.
2
a23
由双曲线准线方程的求法得＝，
c2
又b＝1，c＝a＋b，∴c＝a＋1，
2
2
2
2
2
32
∴a＝c.
2
312
即c＝c＋1，解得c＝2或c＝－(舍去)，∴a＝3.
22答案：3
8.直线y＝kx＋1与曲线mx2＋5y2＝5m(m>0)恒有公共点，则m的取值范围是________． 解析：将y＝kx＋1代入mx＋5y＝5m，
得(m＋5k)x＋10kx＋5(1－m)＝0，对k∈R，总有实数解． ∴Δ＝20m(m－1＋5k)≥0，对k∈R恒成立． ∵m>0，∴m≥1－5k恒成立，∴m≥1. 即m的取值范围为[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞)
1
9.一动点到定直线x＝3的距离是它到定点F(4，0)的距离的，求这个动点的轨迹方程．
2
解：法一：由题意知，动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为2，则动点的轨迹为双曲线，且离心率e＝＝2.
22
2
2
2
2
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又定点F(4，0)与定直线x＝3是双曲线相应的右焦点和右准线，得c－＝4－3＝1.
ac2
a2
又∵c＝2a且c－＝1，
c24∴a＝且c＝，
33
?8?∴双曲线的中心O′的坐标为?，0?.
?3??4??2?4
又b＝c－a＝??－??＝，
?3??3?3
2
2
2
22
∴双曲线的方程为
?x－8??3???
2?2??3???
2
－＝1. 43
y2
法二：由题意知，设动点为P(x，y)， 122
则|x－3|＝ （x－4）＋y，
211222
两边平方，得(x－3)＝(x－4)＋y.
44
化简，得
?x－8?
?3???
2?2??3???
2
－＝1即为所求． 43
y2
10.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)． (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于
5
？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由． 5
2
2
解：(1)将(1，－2)代入y＝2px， 得(－2)＝2p·1，所以p＝2.
故所求抛物线C的方程为y＝4x，其准线方程为x＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，
??y＝－2x＋t2由?2消去x，得y＋2y－2t＝0. ?y＝4x?
2
因为直线l与抛物线C有公共点， 1所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.
2由直线OA与l的距离等于5|t|5
可得＝，解得t＝±1. 555
11
因为－1?[－，＋∞)，1∈[－，＋∞)，
22
所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.
[能力提升]