第七章 空间解析几何与向量代数
向量代数部分
一． 填空题
1．已知向量a,b,c是两两垂直的单位向量，且p??a??b??c，其中?,?,?是常数，则|p|?______________.
2．向量a??4,?3,4?在向量b??2,2,1?上的投影为__________________.
3．已知向量a,b,c是两两垂直，且|a|?1,|b|?2,|c|?3,则s?a?b?c与c的夹角是__________________.
4．已知向量a和b之间的夹角是??120o，|a|?3,|b|?5,|a?b|?__________.
则
1,2,??,b??2?,1,1?,且a?b，则??________5．设a??.
6．三向量a,b,c的混合积a?b?c的几何意义是____________________________. 7．已知向量a,b,c，其中c?a,c?b,又a,b?a?b?c=___________.
?6，又|a|?6,|b|?|c|?3,则
8．三棱锥的顶点是A(1,1,1),B(5,4,?1),C(2,3,5),D(6,0,?3),则它的体积为__________.
9．空间四个点A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17)是否是在同一个平面上？_________. 10．
设a?b?c=2，则(a?b)?(b?c)?(c?a)?___________.
二． 选择题
1．设向量a,b相互平行，但方向相反，则当|a|?|b|?0时必有______. (A) |a?b|?|a|?|b|; (B)|a?b|?|a|?|b|; (C) |a?b|?|a|?|b|; (D) |a?b|?|a|?|b|. 2．已知向量a和b之间的夹角是
?,且|a|?1,|b|?2,则| |a?b|?_____. 4(A) 1； (B)1?2; (C) 2； (D) 3．已知非零向量a,b满足|a?b|?|a?b|,则必______.
5.
(A) a?b?0; (B)a?b?0; (C) a?b?0; (D) a?b?0. 4.设三向量a,b,c满足关系式a?b?c?0，则a?b?______.
(A) c?b; (B) b?c; (C) a?c; (D) b?a. 5.已知平行四边形的四个顶点A,B,C,D,点D是与点B相对的点，记
a?OA,b?OB,c?OC,则OD为_____.
????(A) c?b; (B)a?b?c; (C) a?b?c; (D) b?c. 6．已知向量a和b的模分别为|a|?2,|b|?2,且a?b?2，则a?b?____. (A) 2； (B)22; (C)1； (D)
2. 27．设向量d与三个坐标面xoy,yoz,zox的夹角分别为?,?,?(0??,?,??cos2??cos2??cos2??______.
?2)，则
(A) 0； (B)1； (C)2； (D) 3. 8．设a?i?j?k，则垂直于a且垂直于y轴的单位向量为_____. (A) ?33(i?j?k); (B) ?(i?j?k); 3322(i?k). (i?k); (D) ?22(C) ?9. 已知非零向量a,b满足(a?3b)?(7a?5b),(a?4b)?(7a?2b),则a,b之间的夹角为_____.
???2?. (A) ; (B) ; (C) ; (D)
6323???1?10.已知梯形OABC,CB//OA,|CB|?|OA|,若OA?a,OC?b,则AB?_____.
2???ab;aa?b; (B)a? (C) ?b; (D) b?.
2222三．解答题
(A)
1．从点A(2,?1,7)沿向量 a??8,9.?12?的方向取线段|AB|=34，求B点的坐标.
2．一直线通过点B(1,2,3), 且与向量a??6,6,7?平行，求点A(3,4,2)到此直线的距离d.
3.一直线通过点B(?2,1,3)和C(0,?1,2)，求点A(10,5,10)到此直线的距离d. 4．已知三角形的一个顶点A(2,?5,3)及两边的向量AB??4,1,2?和BC??3,?2,5?，求其余的顶点以及向量CA和?A. 5．已知|a|?2,|b|?5,?a,b??直？
6．已知单位向量OA与三个坐标轴的夹角相等，点B是点M(1,?3,2)关于N(?1,2,1)的对称点，求OA?OB.
7．三角形的三个顶点是A(3,4,?1),B(2,0,3),C(?3,5,4)，求该三角形的面积. 8．判断下列四点是否共面：
(1)M1(2,3,0)，M2(?2,?3,4)，M3(0,6,0)，M4(2,0,1); (2)M1(1,1,?1)，M2(?2,?2,2)，M3(1,?1,2)，M4(2,2,2).
??????2?,问系数?为何时，向量(?a?17b)与(3a?b)垂39．设四面体以点O(0,0,0)，A(5,2,0)，B(2,5,0)，C(1,2,4)为其顶点，求它的体积，并计算三角形?ABC的面积和由点O引向该面的高.
10．单位圆的圆周上有相异的两点P和Q，向量OP与OQ的夹角为?(0????)，设a,b为正常数，求极限lim[|aOP|?|bOQ|?|aOP?bOQ|].
??0?四．证明题
1．设三角形ABC的形心为G，任一点O到三角形三顶点的向量分别为
1??????OA?a,OB?b，OC?c，证明：OG?????1(a?b?c). 22．设一直线通过点A(a,b,c)且平行于向量，证明点M(x0,y0,z0)到该直线的距
?|r?s|离为d=，其中r?AM.
|s|3．设非零向量a,b,c中的任意两个向量不共线，而a?b与c共线，b?c与a共线，证明：a?b?c?0.
4．已知三点A，B，C的向径分别为r1?2i?4j?k,r2?3i?7j?5k，
r3?4i?10j?9k，证明A，B，C三点共线.
5．试证向量a??i?3j?2k,b?2i?3j?4k，c??3i?12j?6k 在同一平面上，并沿a和b分解c.
6．若三向量p ,q ,r不共面，求证：2p?3q,3q?5r,2p?5r必共面.
7．已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是xoy平面上的三点，试用向量的方法证明：三角形ABC的面积为 S??
1x22x3x1y11y21. y31空间解析几何部分
一． 填空题
1. 已知直线L过点M(0,?3,?2)且与两条直线L1:x?3y?2z?1??, 321?x??1?2t,?L2:?y?5?4t,都垂直，则直线L的方程是_______________________________.
?z?2?3t?2．直线
xy?7z?3??上与点(3,2,6)的距离最近的点是_________________. 12?1?x?y?z?1?0,?x?2y?z?2?0,3．直线?和直线?间的最短距离是________.
?2x?y?z?2?0?x?2y?2z?4?0?x?acost,?4．曲线?y?asint,在xoy坐标面上的投影曲线是________________________.
?z?bt??x??t?2,?5．过点M(1,2,?1)且与直线?y?3t?4,垂直的平面是______________________.
?z?t?1?x?1y?2z?3x?2y?1z????，则过L1且平行于L2，L2:10?1211的平面方程为________________________.
6．已知直线L1:?x?y?z?1?0,7．已知直线L:?及平面?:4x?2y?z?2?0，则直线L与平面
?2x?y?z?2?0?的位置关系是_____________.
8．在由平面2x?y?3z?2?0和平面5x?5y?4z?3?0所决定的平面束内，有两个相互垂直的平面，其中一个平面经过点(4,?3,1),这两个平面的方程分别是_________________________________________________.
?f(y,z)?0,9．以曲线?为母线，以z轴为旋转轴的旋转曲面的方程为___________.
?x?0?x2y2?10．方程?4?9?1,在空间Oxyz中的图形是____________________________.
??y?2
二．
选择题
x?1y?1z?1??，L2:x?1?y?1?z相交于一点，则12?1． 设空间两直线L1:??_____.
(A) 1； (B)0； (C)
55.； (D) ?. 43?x?3t,x?3y?4z?x?2y?z?1?0,???，L2:?y??1?3t,L3:?2．空间三直线L1:则?2?53?2x?y?z?0,?z?2?7t,?必有_____.
(A) L1//L3； (B) L1//L2； (C) L2?L3； (D) L1?L2.
?4x?y?3z?0,3．设空间直线L1:??2x?3y?2z?9?3x?2y?z??5,与L2:??x?3y?2z?3的位置关系为
_____.
(A)平行不重合； (B)相交于一点； (C)重合； (D) 异面.
4．过点(0,2,4)且与平面x?2z?1及y?3z?2都平行的直线是_____.
xy?2z?4xy?2z?4???； (B) ?； 10201?3xy?2z?4??(C) ； (D) ?2x?3(y?2)?z?4?0. ?231(A)