线性代数(专升本)综合测试3
总分： 100 分
得分： 0 分
[2019年秋季]
姓名
一、单选题
1. 设 (A) : 0
参考答案：A
，则
.(5分)
学号 (B) : (C) : (D) : .(5分) (D) : 是任意常数，
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2. 设 为同阶可逆矩阵， 为数，下列命题中不正确的是 (A) : (B) : (C) : 参考答案：B 3. 设
是齐次线性方程组
的两个线性无关的解，
。(5分)
(A) 一定是该方程组的通解 (C) 一定是该方程组的解 参考答案：C
专业
年级
(B) 一定是该方程组的特解 (D) 不一定是该方程组的解考试时间
4. 设向量组 线性相关，则 .(5分) (A) : 必有一个为零向量 (B) : 必有两个向量对应分量成比例 (C) : 必有一个向量是其余向量的线性组合 (D) : 任意一个向量是其余向量的线性组合参考答案：C
5. 已知 是可逆矩阵，它的一个特征值为 ，则 的一个特征值为 .(5分) (A) : (B) : (C) : (D) :
参考答案：A 二、填空题
1.
中一次项x的系数为 (1) .(5分)
(1). 参考答案: 2
2. 如果每一个 维列向量都是方程组(1). 参考答案: 0 3. 若矩阵
相似于矩阵
的解，则 ，则
(3) (2) .(5分)
.(5分)
(1). 参考答案: 5
三、问答题
1. 设行列式
参考答案：解答
，求代数余子式之和: 。 (10分)
.
解题思路：
2. 设矩阵 ，计算 ，所以
都可逆，有
。(10分)
参考答案：因为
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.
解题思路：
3. 设向量组
的秩为2，则 应是多少？(10分)
参考答案： 利用矩阵的初等变换求 ，由于秩为2，所以有
.
解题思路：由线性相关性的定义可得。
4. 已知矩阵
有一个二重特征值 ，则 等于多少？能否相似于对角矩阵，
说明理由。(10分)
参考答案：由特征值性质知道：
；
能否相似于对角矩阵，取决于能否找到三个线性无关的特征向量，对于等根 求特征向量，由于
，
，解方程
，
秩为2，只能找到一个线性无关解向量，所以不能相似于对角矩阵。解题思路：
5. 论向量组的线性相关性及其应用
（1） 向量组的线性相关性是线性代数中的重要概念，对于如何判定一组向量是否相关本课程给
出了很多的判定定理. 下面就最简单的三种情况，请问：①如果向量组中含有一个零向量，该向量组是否线性相关？②如果向量组中有两个向量对应成比例，该向量组是否线性相关？③若向量组线性相关，则它的部分向量组是否线性相关？
（2） 什么是向量组的秩？什么是向量组的极大线性无关组？极大线性无关组有何意义？ （3） 有限向量组的秩与矩阵的秩有着怎样的关系？如何求向量组的秩？(20分)
参考答案：（1）①含有零向量的向量组一定线性相关；②如果向量组中有两个向量对应成比例 ，则向量组一定线性相关；③若向量组线性相关，则它的部分向量组不一定线性相关，反之，若向量组线性无关，则它的部分向量组一定线性无关.
（2） 在向量组A中，如果存在着r个向量线性无关，但任意的r+1个向量一定线性相关，则称数r
为向量组的秩。在秩为r的向量组中，任意r个线性无关的向量，均称为A的一个极大线性无关组 ，此时A中任意一个向量均可由这个极大无关组线性表示。
（3） “三秩相等”，即行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩。 因此求向量组的秩可以通过求矩阵的秩来完成。也可以通过相关性的定义判断。(方法不止一种,任意列出一种即可) 解题思路：由线性相关性的定义可得。
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