高中数学数列题型归纳及解题方法梳理

数列

典型例题分析

【题型1】 等差数列与等比数列的联系 例1 (2010陕西文16)已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数

an

列.(Ⅰ)求数列{an}的通项;(Ⅱ)求数列{2}的前n项和Sn. 解:(Ⅰ)由题设知公差d≠0,

1?8d由a1=1,a1,a3,a9成等比数列得1?12d=1, ?2d解得d=1,d=0(舍去), 故{an}的通项an=1+(n-1)×1=n.

n

(Ⅱ)由(Ⅰ)知2=2,由等比数列前n项和公式得

amSm=2+2+2+…+2=

23n

2(1?2n)1?2n=2-2.

ann+1

小结与拓展:数列?a?是等差数列,则数列{a}是等比数列,公比为a,其中a是常数,d是?a?的公差。(a>0且a≠1).

dn 1

【题型2】 与“前n项和Sn与通项an”、常用求通项公式的结合

例2 已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相同,且a1+2a2+2a3+…+2

*

2

n-1

an=

8n对任意的n∈N都成立,数列{bn+1-bn}是等差数列.求数列{an}与{bn}的通项公式。 解:a1+2a2+2a3+…+2①

当n≥2时,a1+2a2+2a3+…+2-1)(n∈N) ② ①-②得2

n-1*

2

n-2

2

n-1

*

an=8n(n∈N)

an-1=8(n

an=8,求得an=2

4-n

在①中令n=1,可得a1=8=2∴an=2

4-n

*

4-1

(n∈N). 由题意知b1=8,b2=4,

b3=2,∴b2-b1=-4,b3-b2=-2, ∴数列{bn+1-bn}的公差为-2-(-4)=2,∴bn

2

+1

-bn=-4+(n-1)×2=2n-6,

法一(迭代法)

bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=8+(-4)+(-2)+…+(2n-8) =n-7n+14(n∈N). 法二(累加法)

即bn-bn-1=2n-8, bn-1-bn-2=2n-10, …

b3-b2=-2, b2-b1=-4, b1=8,

相加得bn=8+(-4)+(-2)+…+(2n-8)

(n-1)(-4+2n-8)=8+=

2

3

2*

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