第3讲 分类讨论、转化与化归思想
数学思想解读 1.分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.
热点一 分类讨论思想的应用
应用1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论
【例1】 (1)若函数f(x)＝a(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数
xg(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.
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(2)在等比数列{an}中，已知a3＝，S3＝，则a1＝________.
22解析 (1)若a>1，有a＝4，a＝m. 1
解得a＝2，m＝. 2
此时g(x)＝－x为减函数，不合题意. 若0 故a＝，m＝，检验知符合题意. 416 39 (2)当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，S3＝3a1＝，显然成立. 2239 当q≠1时，由a3＝，S3＝， 223 aq＝， ①??2∴? 9 ??a（1＋q＋q）＝2. ② 21 2 1 －1 22 －1 ②1＋q＋q由，得＝3， ①q2即2q－q－1＝0， 11a3 所以q＝－或q＝1(舍去).当q＝－时，a1＝2＝6， 22q2 2 3 综上可知，a1＝或a1＝6. 213 答案 (1) (2)或6 42 探究提高 1.指数函数、对数函数的单调性取决于底数a，因此，当底数a的大小不确定时，应分0 2.利用等比数列的前n项和公式时，若公比q的大小不确定，应分q＝1和q≠1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n项和公式决定的. 【训练1】 (1)(2018·长沙一中质检)已知Sn为数列{an}的前n项和且Sn＝2an－2，则S5－ S4的值为( ) A.8 B.10 2 C.16 D.32 ??sin（πx），－1 (2)函数f(x)＝?x－1若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能取值的集合是 ?e，x≥0.? ________. 解析 (1)当n＝1时，a1＝S1＝2a1－2，解得a1＝2. 因为Sn＝2an－2， 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2， 两式相减得，an＝2an－2an－1，即an＝2an－1， 则数列{an}为首项为2，公比为2的等比数列， 则S5－S4＝a5＝2＝32. (2)f(1)＝e＝1，即f(1)＝1. 由f(1)＋f(a)＝2，得f(a)＝1. 当a≥0时，f(a)＝1＝e a－1 0 5 ，所以a＝1. 2 当－1 所以πa＝2kπ＋(k∈Z). 2 1122 所以a＝2k＋(k∈Z)，k只能取0，此时a＝， 22因为－1 2 . 2 ???2? 则实数a取值的集合为?－，1?. 2???? ???2??答案 (1)D (2)－，1? 2???? 2 应用2 由图形位置或形状引起的分类讨论 x≥0，?? 【例2】 (1)已知变量x，y满足的不等式组?y≥2x，表示的是一个直角三角形围成的 ??kx－y＋1≥0 平面区域，则实数k＝( ) 1 A.－ 2 1B. 2 C.0 1 D.－或0 2 (2)设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于________. x≥0，?? 解析 (1)不等式组?y≥2x，表示的可行域如图(阴影部分)所示. ??kx－y＋1≥0 x≥0，?? 由图可知，若要使不等式组?y≥2x，表平面区域是直角三角形，只有当直线kx－y＋1 ??kx－y＋1≥0 1 ＝0与直线y轴或y＝2x垂直时才满足.结合图形可知斜率k的值为0或－. 2(2)不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，其中t≠0. 若该曲线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a， c2c3t1 |F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝； a2a6t2 若该曲线为双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a， c2c3t3 |F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝. a2a2t2 13 答案 (1)D (2)或 22 探究提高 1.圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论. 2.相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论. 【训练2】 设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点.已知P，F1，F2是一个 94 x2y2 3