第5讲 ?-矩阵与标准形
内容：1. 矩阵的Jordan标准形
2. 矩阵的最小多项式 3. ?-矩阵与Smith标准型 4. 多项式矩阵的互质性与既约性 5. 有理式矩阵的标准形及仿分式分解
?-矩阵又称多项式矩阵是矩阵理论中的重要内容，在线
性控制系统理论中有着重要的应用. 本讲讨论?-矩阵和数字矩阵的相似标准形、矩阵的Jordan标准形、矩阵的最小多项式、多项式矩阵与有理分式矩阵的标准形. §1 矩阵的Jordan标准形 1.1 矩阵相似
定义1.1 设A和B是矩阵，C和D是非奇异矩阵，若
B?DAC,则称A和B相抵；若B?CTAC,则称A和B相合（或合
同）；若B?C?1AC,则称A和B相似，即若A,B?Cn?n，存在P?Cnn?n,使得P?1AP?B，则称A与B相似，并称P为把A变成B的相似变换矩阵.特别，当PH?P?1,称A与B酉相似，当PT正交相似.
相似是矩阵之间的一种重要的关系. 相似矩阵具有以下性质：
?P?1,称A与B
定理1.1 设A,C,B?Cn?n, f(?)是一个多项式，则 （1） 反身性：A与A相似；
（2） 对称性：若A与B相似，则B与A也相似； （3） 传递性：若A相似于B，B相似于C，则A与C相似； （4） 若A与B相似，则detA?detB,rankA?rankB； （5） 若A与B相似，则f(A)与f(B)相似；
（6） 若A与B相似，则det(?I?A)?det(?I?B),即A与B有相同的特征多项式，从而特征值相同.
对角矩阵是较简单的矩阵之一，无论计算它的乘积、幂、逆矩阵和特征值等都比较方便.问题：方阵A能否相似于一个对角矩阵？
定义1.2 设A?Cn?n，若A相似于一个对角矩阵，则称A可对角化.
定理1.2 设A?Cn?n，则A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.
证明 充分性.设P?1AP???diag(?1,?2,?,?n),其中
P?(p1,p2,?,pn)，则由AP?P?得Api??ipi, (i?1,2,?,n)，可见
?i是A的特征值，P的列向量pi是对应特征值?i的特征向量，
再由P可逆知p1,p2,?,pn线性无关.
必要性. 如果A有n个线性无关的特征向量p1,p2,?,pn，即有Api??ipi,(i?1,2,?,n)，记P?(p1,p2,?,pn)，则P可逆，且有
AP?(Ap1,Ap2,?,Apn)?(?1p1,?2p2,?,?npn)
?(p1,p2,?,pn)diag(?1,?2,?,?n)?Pdiag(?1,?2,?,?n), 即有P?1AP?diag(?1,?2,?,?n)，故A可对角化.
推论1.1 若n阶方阵A有n个不同的特征值，则A可对角化.
推论1.2 设?1,?2,?,?s是n阶方阵A的所有互不相同的特征值，其重数分别为r1,r2,?,rs.若对应ri重特征值?i有ri个线性无关的特征向量(i?1,2,?,s)，则A可对角化.
例1.1 研究下列矩阵能否与对角形矩阵相似：
10?10??0?122??3?，??4?10? ?2112?，001A?A?1）A?? 2）3）???????????6?11?6???4?8?2???221??解
1）因A的特征多项式为?I?A?(??1)(??2)(??3)，因而A有三个不同的特征值：?1??1,?2??2,?3??3.由于A的3个特征值互不相同，故A能对角化. 又求得相应的三个特征向量为：
x1?(1,?1,1)T,
x2?(1,?2,4)T,x3?(1,?3,9)T,它们是线性无关的.取
11??1??1??，则P?1AP???. P???1?2?3?2??????49??3??1???2）特征多项式为?I?A?(??1)2(??5).故特征值为，?3?5.特征值为?1的两个线性无关的特?1??2??1（二重根）
征向量为x1?(1,0,?1)T,x2?(0,1,?1)T，而特征值?3?5对应的一个特
01??1??1??，则P?1AP???. 011?1征向量为：x3?(1,1,1)T，取P????????5???1?11????