江苏 新高考
高考对本专题内容的考查一般是“一小一大”，小题主要考查体积和表面积的计算问题，而大题主要证明线线、线面、面面的平行与垂直问题，其考查形式单一，难度一般.
第1课时立体几何中的计算(基础课) [常考题型突破]
空间几何体的表面积与体积 [必备知识] 空间几何体的几组常用公式
(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： ①S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)； 1
②S锥侧＝ch′(c为底面周长，h′为斜高)；
2
1
③S台侧＝(c＋c′)h′(c′，c分别为上下底面的周长，h′为斜高)．
2(2)柱体、锥体、台体的体积公式： ①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)； 1
②V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)；
31
③V台＝(S＋SS′＋S′)h(不要求记忆)．
3(3)球的表面积和体积公式： ①S球＝4πR(R为球的半径)； 43
②V球＝πR(R为球的半径)．
3
[题组练透]
2
1．现有一个底面半径为3 cm，母线长为5 cm的圆锥状实心铁器，将其高温熔化后铸成一个实心铁球(不计损耗)，则该铁球的半径为________cm.
解析：因为圆锥底面半径为3 cm，母线长为5 cm，所以圆锥的高为5－3＝4 cm，其体积为3143
23
π×3×4＝12π cm，设铁球的半径为r，则πr＝12π，所以该铁球的半径是9 cm. 33
3
答案：9
2．(2017·苏锡常镇二模)已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为23，则该直四棱柱的侧面积为________．
解析：由题意得，直四棱柱的侧棱长为＝cl＝4×2×22＝162.
答案：162
3．(2017·南通、泰州一调)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，3 cm，AA1＝1 cm，则三棱锥D1-A1BD的体积为_______cm.
解析：三棱锥D1-A1BD的体积等于三棱锥B-A1D1D的体积，因为三棱锥B-A1D1D的高等于AB，1
△A1D1D的面积为矩形AA1D1D的面积的，所以三棱锥B-A1D1D的体积是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的
21123体积的，所以三棱锥D1-A1BD的体积等于×3×1＝.
662
3答案：
2
4.如图所示是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面)被一个平面所截得到的几体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝1，∠A1B1C1＝90°，A1A＝4，B1B＝2，C1C则此几何体的体积为________．
解析：在A1A上取点A2，在C1C上取点C2，使A1A2＝C1C2＝BB1，连结A2B，A2C2，
∴V＝V
A1B1C1-A2BC23
2
2
23
2
－2＝22，所以该直四棱柱的侧面积为S
2
AB＝
何＝3，
BC2，
＋V
B-A2ACC2
111＋223＝×1×1×2＋××2×＝. 232223答案：
2
V13
5．设甲，乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等且＝，
V22S1
则的值是________． S2
解析：设甲，乙两个圆柱的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则有2πr1h1＝2πr2h2，即
2
V1πr1h1V1r1r13S1?r1?29
r1h1＝r2h2，又＝2，∴＝，∴＝，则＝??＝.
V2πr2h2V2r2r22S2?r2?4
9
答案：
4[方法归纳]
求几何体的表面积及体积的解题技巧 (1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上． (2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解． 多面体与球的切接问题 [必备知识] 解决球与其他几何体的切、接问题
(1)解题的关键：仔细观察、分析，弄清相关元素的位置关系和数量关系．
(2)选准最佳角度作出截面：要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系，达到空间问题平面化的目的．
(3)认识球与正方体组合的3种特殊截面：
(4)熟记2个结论：
①设小圆O1半径为r，OO1＝d，则d＋r＝R；
∠AO1B∠AOB
②若A，B是圆O1上两点，则AB＝2rsin＝2Rsin. 22
[题组练透]
2
2
2
1．(2017·江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、V1
下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值
V2是________．
解析：设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底V1πR·2R3
面半径为R、高为2R，所以＝＝.
V2432
πR3
3答案：
2
2．(2017·全国卷Ⅲ改编)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________．
33π?1?23
解析：设圆柱的底面半径为r，则r＝1－??＝，所以圆柱的体积V＝×π×1＝.
44?2?4
2
2
2
3π
答案：
4
3．已知矩形ABCD的顶点都在半径为2的球O的球面上，且AB＝3，BC＝3，过点D作DE垂直于平面ABCD，交球O于E，则棱锥E-ABCD的体积为________．
解析：如图所示，BE过球心O， ∴DE＝
4－3－
2
2
3
2
＝2，
1
∴VE -ABCD＝×3×3×2＝23.
3答案：23
4．(2017·南京、盐城一模)将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB＝3，BC＝2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O-EFG体积的最大值是________．
解析：因为将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB＝3，BC＝2， 圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形， 所以三棱锥O-EFG的高为圆柱的高，即高为AB，
所以当三棱锥O-EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大， 1
当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，(S△EFG)max＝×4×2＝4,
2