计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数。 19. 求证
(a) ||x||??||x||1?n||x||?，
1(b)
n||A||F?||A||2?c2||A||Fn?n。
20. 设 P?Rn且非奇异，又设||x||为R上一向量范数，定义
||x||p?||Px||。
试证明
||x||p是Rn上的一种向量范数。
n?n21. 设A?R为对称正定阵，定义
||x||A?(Ax,x)1/2，
n试证明||x||A为R上向量的一种范数。 nT22. 设x?R,x?(x1x2,?,xn)，求证
lim(?||xi||p)1/p?maxxi?||x||?y??i?11?i?nn。
23. 证明：当且尽当x和y线性相关且xy?0时，才有
T||x?y||2?||x||2?||y||2。
24. 分别描述R中（画图）
2Sv?{x|||x||v?1,x?R2},(v?1,2,?)。
?是Rn（或Cn）上的任意一种范数，而P是任意非奇异实（或复）矩阵，定义范
?1数||x||??||Px||，证明||A||??||PAP||。
n?n26. 设||A||s,||A||t为R上任意两种矩阵算子范数，证明存在常数c1,c2?0，使对一切
25. 令
A?Rn?n满足
c1||A||s?||A||t?c2||A||s
TTn?nTT?(AA)??(AA)。 A?RAAAA27. 设，求证与特征值相等，即求证
28. 设A为非奇异矩阵，求证
||A||?y?0||y||||A?1||??。
?1?129. 设A为非奇异矩阵，且||A||||?A||?1，求证(A??A)存在且有估计
||?A||cond(A)||A?1?(A??A)?1||||A||?.?1||?A||||A||1?cond(A)||A||
1?min30. 矩阵第一行乘以一数，成为
?2?A???1证明当
??1??。
???23时，cond(A)?有最小值。
31. 设A为对称正定矩阵，且其分解为A?LDL?WW，其中W?D(a) cond(A)2?[cond(?)2];
Tcond(A)?cond(?)2cond(?)2. 2(b)
2TT1/2LT，求证
32. 设
?10099?A????9998?
计算A的条件数。cond(A)v(v?2,?)
33. 证明：如果A是正交阵，则cond(A)2?1。 34. 设A,B?Rn?n且
?为上矩阵的算子范数，证明
cond(AB)?cond(A)cond(B)。
第八章 解方程组的迭代法
1. 设方程组
(a) 考察用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性;
(k?1)(k)?4||x?x||?10?(b) 用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组,要求当时迭代
?5x1?2x2?x3??12???x1?4x2?2x3?20?2x?3x?10x?323?1
终止．
?00?A????20?, 证明:即使||A||1?||A||??1级数I?A?A2???Ak??也收敛． 2. 设
3. 证明对于任意选择的A, 序列
收敛于零．
４. 设方程组
111I,A,A2,A3,A4,?23!4!
迭代公式为
?a11x1?a12x2?b1;??a21x1?a22x2?b2; (a11,a12?0);
1?(k)(k?1)x?(b?ax);11122?a11???x(k)?1(b?ax(k?1));22211?a22 ? (k?1,2,?).
(k){x}收敛的充要条件是 求证: 由上述迭代公式产生的向量序列
r?5. 设方程组
a12a21?1.a11a22
?x1?0.4x2?0.4x3?1??0.4x1?x2?0.8x3?2?0.4x?0.8x?x?3123(a) ? (b)
6. 求证k???x1?2x2?2x3?1??x1?x2?x3?1?2x?2x?x?123?1
试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。
limAk?A的充要条件是对任何向量x，都有
7. 设Ax?b，其中A对称正定，问解此方程组的雅可比迭代法是否一定收敛？试考察习题5(a)方程组。 8. 设方程组
k??limAkx?Ax.111?x?x?x??143442;??x?1x?1x?1;?243442???1x?1x?x?1;3?41422?111??x1?x2?x4?.42 ?4(a) 求解此方程组的雅可比迭代法的迭代矩阵B0的谱半径；
(b) 求解此方程组的高斯－塞德尔迭代法的迭代矩阵的谱半径；
(c) 考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯－塞德尔迭代法的收敛性。 9. 用SOR方法解方程组（分别取松弛因子??1.03,??1,??1.1）
?4x1?x2?1;???x1?4x2?x3?4;??x?4x??3.3?2
11x??(,1,?)T,?(k)?622要求当||x?x||??5?10时迭代终止，并且对每一个?精确解
值确定迭代次数。
10. 用SOR方法解方程组（取?＝0.9）
?5x1?2x2?x3??12;???x1?4x2?2x3?20;?2x?3x?10x?3.23?1
(k?1)(k)?4||x?x||?10?要求当时迭代终止。
11. 设有方程组Ax?b，其中A为对称正定阵，迭代公式
x(k?1)?x(k)??(b?Ax(k)), (k?0,1,2,?)
0???试证明当
2?时上述迭代法收敛（其中0????(A)??）。
(k?1)12. 用高斯－塞德尔方法解Ax?b，用xi记x(k?1)的第i个分量，且
nri(k?1)?bi??aijxj?1i?1(k?1)j??aijxi(k)j?i。
ri(k?1)x?x?ai； (a) 证明
(k)?x(k)?x?，其中x?是方程组的精确解，求证： (b) 如果?(k?1)i(k)i?ri(k?1)(k?1)i??(k)iri(k?1)?aii
其中 (c) 设A是对称的，二次型
??aij?j?1i?1(k?1)j??aij?i(k)j?in。
Q(?(k))?(A?(k),?(k)) Q(?(k?1))?Q(?(k)j?1jj证明 。
(d) 由此推出，如果A是具有正对角元素的非奇异矩阵，且高斯－塞德尔方法对任意初始向
)???n(rj(k?1))2a量x是收敛的，则A是正定阵。
13. 设A与B为n阶矩阵，A为非奇异，考虑解方程组
(0)Az1?Bz2?b1,Bz1?Az2?b2,
其中z1,z2,d1,d2?R。
(a) 找出下列迭代方法收敛的充要条件 (b) 找出下列迭代方法收敛的充要条件 比较两个方法的收敛速度。 14. 证明矩阵
(m)(m?1)Az1(m?1)?b1?Bz2,Az2?b2?Bz1(m)(m?0);
n(m)(m?1)Az1(m?1)?b1?Bz2,Az2?b2?Bz1(m?1)(m?0);
?1aa??A??a1a????aa1??
111??a?1??a?2是收敛的。 对于2是正定的，而雅可比迭代只对2?5123??0204??A???3?12?1???0307??，试说明A为可约矩阵。 15. 设
16. 给定迭代过程，x?Cx(k)?g，其中C?Rn?n(k?0,1,2,?)，试证明：如果C的
特征值?i(C)?0(i?1,2,?)，则迭代过程最多迭代n次收敛于方程组的解。
(k?1)17. 画出SOR迭代法的框图。
18. 设A为不可约弱对角优势阵且0???1，求证：解Ax?b的SOR方法收敛。 19. 设Ax?b，其中A为非奇异阵。 (a) 求证AA为对称正定阵；
(b) 求证cond(AA)2?(cond(A)2)。
T2T