学案75 坐标系与参数方程
导学目标：1.了解坐标系的有关概念，理解简单图形的极坐标方程.2.会进行极坐标方程与直角坐标方程的互化.3.理解直线、圆及椭圆的参数方程，会进行参数方程与普通方程的互化，并能进行简单应用．
自主梳理
1．极坐标系的概念
在平面上取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做________；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个____________．
设M是平面上任一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的________，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的________，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的__________，记作(ρ，θ)．
2．极坐标和直角坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝__________，y＝__________.另一种关系为：ρ2＝__________，tan θ＝______________.
3．简单曲线的极坐标方程
(1)一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程φ(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程φ(ρ，θ)＝0的点都在曲线上，那么方程φ(ρ，θ)＝0叫做曲线的____________．
(2)常见曲线的极坐标方程 ①圆的极坐标方程
____________表示圆心在(r,0)半径为|r|的圆；
π
____________表示圆心在(r，)半径为|r|的圆；
2
________表示圆心在极点，半径为|r|的圆． ②直线的极坐标方程
____________表示过极点且与极轴成α角的直线； ____________表示过(a,0)且垂直于极轴的直线；
π
____________表示过(b，)且平行于极轴的直线；
2
ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)表示过(ρ0，θ0)且与极轴成α角的直线方程． 4．常见曲线的参数方程 (1)直线的参数方程
??x＝x0＋lcos α，
若直线过(x0，y0)，α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为?这是直线
??y＝y0＋lsin α.
的参数方程，其中参数l有明显的几何意义．
(2)圆的参数方程
??x＝a＋rcos α，
若圆心在点M(a，b)，半径为R，则圆的参数方程为?0≤α<2π.
?y＝b＋rsin α，?
(3)椭圆的参数方程
??x＝acos φx2y2
中心在坐标原点的椭圆2＋2＝1的参数方程为?(φ为参数)．
ab?y＝bsin φ?
(4)抛物线的参数方程
2
?x＝2pt，?2
?抛物线y＝2px(p>0)的参数方程为 ?y＝2pt.?
自我检测
1．(2010·北京)极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A．两个圆 B．两条直线
C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线
??x＝－1－t，
2．(2010·湖南)极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程?(t为参数)所表示的图形
?y＝2＋3t?
分别是( )
A．圆、直线 B．直线、圆 C．圆、圆 D．直线、直线
?x＝3＋3cos θ，33．(2010·重庆)直线y＝x＋2与圆心为D的圆?(θ∈[0,2π))交于
3?y＝1＋3sin θ
A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为( )
75A.π B.π 6445C.π D.π 33
π
4．(2011·广州一模)在极坐标系中，直线ρsin(θ＋)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．
4
?x＝cos α，?
5．(2010·陕西)已知圆C的参数方程为?(α为参数)，以原点为极点，x轴正
?y＝1＋sin α?
半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为________________.
探究点一 求曲线的极坐标方程
aπa
例1 在极坐标系中，以(，)为圆心，为半径的圆的方程为________．
222
变式迁移1 如图，求经过点A(a,0)(a>0)，且与极轴垂直的直线l的极坐标方程．
探究点二 极坐标方程与直角坐标方程的互化 例2 (2009·辽宁)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．曲
π
θ－?＝1，M、N分别为C与x轴，y轴的交点． 线C的极坐标方程为ρcos??3?(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
变式迁移2 (2010·东北三校第一次联考)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直
π2
线l：ρsin(θ－)＝，
42
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．
探究点三 参数方程与普通方程的互化
例3 将下列参数方程化为普通方程：
?(1)?6k
y＝
?1＋k
2
3kx＝
1＋k22 ??x＝1－sin 2θ；(2)?；(3)
?y＝sin θ＋cos θ?
??
?t??y＝1＋t
1－t2x＝
1＋t22 .
变式迁移3 化下列参数方程为普通方程，并作出曲线的草图．
1??x＝2sin 2θ
(1)?(θ为参数)；
??y＝sin θ＋cos θ