28.为什么金属比离子晶体、共价晶体易于进行机械加工并且导电、导热性良好？
答：由于金属晶体中的价电子不像离子晶体、共价晶体那样定域于2 个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”，因而金属晶体的延展性、导电性和导热性都较好。 29.试述半导体材料硅（锗）是如何形成晶体结合的，它们的键有些什么特点？
3sp答：硅和锗都是四价元素，它们具有金刚石类型的结构，靠原子轨道的
杂化而形成四个等价的共价键而构成稳定的晶体，共价键强度很大，且具有方向性与饱和性。
30. 写出Lennard-Jones势。
答：对分子晶体，分子间的范德瓦耳斯－伦敦力引起的互作用势能与
r?6成比例，由实验又得出斥力能与r?12成正比。因此一对分子间总
的互作用势能为
????12???6?u(r)?4????????
r??r???????B?式中?????A?1/6A2，??，
4B上式称为Lennard-Jones势。
31.为什么离子晶体和共价晶体都硬而脆，而金属晶体则有相当大的范性，易发生形变？试从晶体结合力的特点上加以说明。
答：离子晶体的结合能主要来自正负离子间静电库仑力，离子晶体是离子键，离子键有方向性，由于阴阳离子的静电吸引作用强，离子键很牢固，就很硬了。相邻两个原子各出一个电子相互共用，从而使两个原子都形成封闭的电子壳层。量子力学计算证明，当两个原子各自给出的两个电子的自旋方向相反能使系统总能量下降，从而使两个原子结合在一起。由此形成的原子间键合称之为共价键，共价晶休就是依靠这种共价键而相互结合。故离子晶体和共价晶体都硬而脆。 金属晶体中所有原子的最外壳层电子都不再属于某个原子，而为所有原子所
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共有。失去了最外壳层电子的离子实与这些共有化的价电子间的库仑互作用能使这些金属原子结合在一起。金属的金属键很强，但是它们没有一定的方向，因为共价电子可以在里面自由移动，同时吸引任何阳离子。当有力作用在金属上时，那一条或是那一层金属就会移动，在移动后，原子又固定在了那个移动后的位置。所以就是延展了。故金属晶体则有相当大的范性，易发生形变。
32. 试说明在范德瓦尔斯结合、金属性结合、离子性结合和共价结合中，哪一种(或哪几种)结合最可能形成绝缘体、导体和半导体？
答：金属性结合价电子容易脱离原子，离子性结合两种原子的电离能相差很大，价电子易从电离能很大的原子转移到电离能很小的原子上，导电性强，他们最可能形成导体；共价结合，结合成晶体的原子电离能较大，最可能形成绝缘体或半导体；范德瓦尔斯结合依靠范德瓦尔斯力结合成晶体，最可能形成半导体。 33. 锂和氢有类似的电子结构，为什么锂是金属晶体而固态氢是分子晶体？
答：对于锂，是电离能较小的同种原子结合成晶体，因价电子容易脱离原子，故形成金属晶体；而氢，分子间是依靠范德瓦尔斯力结合成晶体，故为分子晶体。
三、作图题(共2道题)
1.画出结合力及相互作用势随距离半径的变化关系图。 解：
2.画出晶体内能函数示意图。
12
解：
四、证明题(共8道题)
1.已知原子间相互作用势为u(r)???rm??rn，其中?,?,m,n均为大于0
的常数，试证明此系统可以处于稳定平衡态的条件是n?m。
证明：
dU(r)?0(平衡态)
drr0d2Udr2?0 (稳定)
r0由
du(r)?0drr?r0，有：
1m?n?m??m?n????0?r?0?n???r0m?1r0.n?1???n?????m???1n?m
d2Udr2
?r0n?n?m??0 n?1?r0.故n?m
2.对惰性元素晶体，原子间的相互作用常采用勒纳—琼斯势
1266612????????r02A126A6?6A6?12A12?u(r)??????0?? ??4???7713????????r0?r0r0?A6?????16
其中σ 和ε 为等待定常数，r 为两原子间距。
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1）试说明式中两项的物理意义以及物理来源；
2）证明平衡时的最近邻原子间距r0 与?之比为一与晶体结构有关的常数。
证明：1）第一项为重叠排斥作用，起源于泡利原理。第二项为范德瓦尔斯作用能，
它是由原子中电荷涨落产生的瞬时电偶极矩所引起的。
2）设晶体含有N 个原子，则根据每对原子的相互作用势可以给出晶体的结 合能为U(r)???12?6?Nu(r)?2N????()?()?设最近邻原子间距为r,则i2iri?i?ri????ri??ir，则有U(r)?2N??A12()12?A6()6?
riri??A12??i1?i12，A6???i16i，则得U(r)?2N??A12()12?A6()6?，
???ri??ri?6A6?612A12?12dU(r)??0 ?0，平衡时，713drrr0r00所以得
?2A?r0??12? ??A6?163.一维离子链，正负离子间距为a，试证马德隆常数??2ln2。 证明：相距rij的两个离子间的互作用势能可表示成
q2bU(rij)???n4??rijrij
设最近邻原子间的距离为 R，则有
rij?ajR则总的离子间的互作用势能
NNq211U??U(rij)??[(?)?n?2i?j24??Ri?jajR其中
???(?i?j?ai?jbnj]
1) aj 14
为离子晶格的马德隆常数，式中＋、－号分别对应于与参考离子相异和相同的离子。
任选一正离子作为参考离子，在求和中对负离子取正号，对正离子取负号，考虑到对一维离子链，参考离子两边的离子是正负对称分布的，则有
???(?i?j11111)?2(????...) aj1234利用下面的展开式
ln(1?x)?xxxx????...1234
并令x =l ，得
1111????...?ln21234
于是一维离子链的马德隆常数为
??2ln2
4. 如果晶体的总互作用能用下式表示：
U(R)??N??A?2?Rm??B?n? R?式中，R是晶体中最近邻离子间距；A，B是结构参量。试证明体积弹性模量可与晶体平衡时单位体积的内能（内能密度）的绝对值
证明：按定义，体积弹性模量
??2U?K?V0?2???V?v0U0V0成正比。
3V?N?R晶体的体积可写成，其中?是一个与结构有关的常数。因
为
?U?U?R?1?U?2?V?R?V3?NR?R， ??U?R?2U??U?()?()2?R?V?V ?V?V?V 15