20 4 2R ?4?e2 21 8 5R 8?e2 e2 22 4 22R ?4?因此，所取单元中各离子与中心负离子的互作用势能
e?e2?e?e2?e?e4?e2e2u?R???4?4?4?8?4R2R2R5R22R
e2??R?441?e2???1???4????1.6069R2522??
故马德隆常数??1.6069。
如果采用边长加倍的中性组计算，得到的结果是
??1.6135
57.65?10Jmol，晶格常数为5.63?1010m。15.实验测知NaCl晶体的结合能为
试计算NaCl晶体的排斥能的幂指数n。NaCl的马德隆常数??1.75。 解：在国际单位制下，由N对正负离子组成的晶体的互作用能为
?e2BU??N(?n) (1)
4??RR式中，B为晶格参量；?为马德隆常数；R代表离子间的最短距离。平衡时，
??U??e2B??N(??)?0 ??2n?1?R4??RR??R0?e2R0n?1 得到 B?4??n代入(1)式，得到离子晶体在平衡时的互作用能的表示式为
36
N?e2U0??4??0R0代入下列数据；
?1?1???
n??N?6.022?1023mol?1 R0?a5.63??2.815?10?10?m?22
???12?m? ??8.85?100
e?1.6?10?19?c? U0??7.65?105J/mol?1
??1.75
??得到
1?1?4??0R0n?e2U0?0.887
所以
n?1?8.8
1?0.8871016. KCl晶体的体积弹性模量为1.74?10Pa，若要使晶体中相邻离子间距缩小
0.5%，需要施加多大的压力。 解：根据体积弹性模量K的定义，
K??V得
dPdV
dP??KdVV
37
设R为相邻离子间的距离。KCL具有NaCL结构，平均每体积R才有
3一个离子，若晶体中共含N个离子，则晶体体积V?NR，因而
3dVdNR32NR2dR??dR?3VR NR3NR3??即
dR?dR?dP??K?3???3KR ?R?因为在自然平衡时，作用在晶体上的仅是大气压力p0，它对晶体体积的影响很小，可认为p0?0。于是
p??p0dR?R0dp???3K?3Kln?R0R?RR???
依题给
R0R01??R0.995R00.995 所以
p?3?1.74?1010?ln?10.995??2.4?109?Pa? 17.有一晶体，平均每对离子的互作用能为
?An?e2 u?R??n?
RR式中，R是最近邻离子间距；?是马德隆常数；?、An为常数。若
n?10，??1.75，平衡时最近邻距离R=2.81?10-10m。求由
02N?2?1022个离子组成的这种晶体平衡时的总互作用能。
解：若用U0?R0?表示平衡时一个离子的平均互作用能，忽略表面离子和体
内离子的差别，则由2N个离子组成的晶体的总互作用能可写成
38
U0?Nu0?R0? (1)
式中出现N而不是2N，是因为在求总互作用能时，每对离子的互作用只能计算一次。平衡时，R?R0，而且
??u?R0???An?e2????nn?1?2?0 ??R?R0R0??R0?e2n?1R0 因而 ?An?n于是
u0?R0??An?e2n?1?e2??R??n0R0R0n?1?1???
n??代入式即得
??u?R0???、An?e2??0 ??u?R??n??R?RR??R01022?1.75?4.8?10?10??2.81?10?818.设两离子的互作用能表示为
??21???1???1.29?104?J?10??
u(r)??
e24??0r?br10
?10r?2?10??m?。求使离式中，0为真空电容率。平衡时核间距离为0子间距增大至
r1?2.01?10?10?m?时外界所作的功。
解：已知两离子的互作用能
??R/?e2?e??最近邻间??b?Ru(r)???? 1024??rr0??e?最近邻以外???r两离子的互作用力为
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W??r1r0??11??r09r09??e2?10f?r?dr??r1?2.01?10?m????????1010??4??0rr10r10r0?? ??01??1?dr??1.44?10?3?eV?(1)
平衡时r?r0，而且
f?r0???e24??0r02?10b?011r0
e2r09b?40??0 从而得到 代入(1)式，得
e2?1r09?f?r??????4??0?r2r11? 当两离子的距离从所作的功为
r0?2?10?10?m?增大至
r1?2.01?10?10?m?时，系统
W??r1r0e2f?r?dr??4??0?1r09??11?dr2?r0??rr?
r1r09??e2??11??r09???????????4??0??r0r1??10r11010r010??
??1.44?10?3?eV?
e2?14.40?10?10?eV?m?式中，4??0。可见，要使离子间距从平衡位置
r0?2?10?10?m?1.44?10?3?eV?增大至
r1?2.01?10?10?m?，外界必须做功
。
19.设有一离子晶体，只计及最近邻间的排斥作用时，其两个离子间的势能具有如下的形式：
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