高等数学第12章课后习题答案(科学出版社)

习题 12.1

1. 判断下列方程是几阶微分方程:

2dy(1)?x2?y; dx3

dy?dy?(2)x???2?4x?0;

dx?dx?d2y?dy?(3)x2?2???5xy?0; (4)xy???2x2(y?)3?x3y?x4?1.

dx?dx?解 (1)

(3)

是一阶线性微分方程; (2)是一阶非线性微分方程; 是二阶非线性微分方程; (4)是二阶非线性微分方程.

2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:

(1)xy??2y,y?5x2; (2)y???y?0,y?3sinx?4cosx; (3)y???2y??y?0,y?x2ex; (4)xy???x(y?)2?yy??0,y?x. 解 (1)

是; (2)

是; (3)

不是; (4)

不是二阶非线性微分方程.

3. 验证函数y?(x2?C)sinx(C为任意常数)是方程

dy?ycotx?2xsinx?0 dx的通解, 并求满足初始条件y|x??2?0的特解.

解 要验证一个函数是否是方程的通解,只要将函数代入方程,看是否恒等,再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.将y?(x2?C)sinx求一阶导数,得

dy?2xsinx?(x2?C)cosx, dx把y和

dy代入方程左边得 dxdy?ycotx?2xsinx?2xsinx?(x2?C)cosx?(x2?C)sinxcotx?2xsinx?0. dx因方程两边恒等,且y中含有一个任意常数,故y?(x2?C)sinx是题设方程的通解. 将初始条件yx???0代入通解y?(x2?C)sinx中,

2得0??24?C C???24.

?2?2??x. 从而所求特解为 y???x?4?sin??4.写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程.

(1) 一曲线通过原点,并且它在(x,y)处的切线斜率等于2x?y; (2) 一曲线通过点(2,3),它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分.

解:由题意,

y??2x?y,yx?0?0

解:设该曲线的方程为

y?f(x),(x,y)为其上任意一点,该点处的切线斜率为y?,过该点的切线方程为

Y?y?y?(X?x)。

X?0,解得切线的纵截距Y?y?xy?,由题意,2y?Y,则得该曲线满足的微分方程:

x?2?xy??y以及初值条件y?3。

习 题 12-2

1.求下列微分方程的通解:

dy1?y2x?y(1); ?10; (2)y??2dx1?xdyx?y?ex?dx??ex?y?ey?dy?0; (4)(3)?e?y2cosx;

dx答案

1.(1) 10?y?10x?C; (2); arcsiyn?arcsixn?C (3) (e?1)(e?1)?C; (4) y??2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解: (1)(1?x)y??arctanx,y|x?0?0; (2)cosxsinydy?cosysinxdx,y|x?0?(3)(x?4)y??2xy,y|x?0?1; (4)cosydx?1?e(5)y?3x(6)y??2xy11?aln(1?a?x)?C;

sinx?Cy2?4;

?22??sinydy?0,y|??;

4?dy?2xydx?0,y|?1;

?xx?0x?0xy?,y|x?1?2; yx1答案:(1) y?(arctanx)2 ; (2)cosx?(2cosy)?0;

2(3) y??(x2?4); (4) e?1?22cosy;

1x4(5) x2?y2?y3?0; (6) y2?2x2(lnx?2);

3. 设一物体的温度为100℃,将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 试求物体温度随时间t的变化规律.

答案: (物体冷却的数学模型)

dT??k(T?20). dt4. 有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律. (水从孔口流出的流量为Q=dV?0.62?S截面?2gh) dt答案: t??4.652g(7?105?103h3?3h5).

5. 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有0.1%的C02, 为了降低车间内空气中C02的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含0.03%的C02的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内C02百分比降低到多少? 答案: 故6分钟后,车间内CO2的百分比降低到0.056%.

习题12-3

1.求下列微分方程的通解: (1)y??ycosx?e(3)

?sinx; (2)y'?ytanx?sin2x;

(5)?x?2?y??y?2?x?2?;(6)y3dx?(2xy2?1)dy?0;

3ds1?scost?sin2t; (4)y??2xy?4x; dt2?sinx答案 :(1) y?(x?C)e;(2) y?Ccosx?2cosx;

?x22 (3) s?Ce?sint?sint?1; (4) y?2?Ce;

1 (5) y?(x?2)3?C(x?2);(6)x?2(ln|y|?C)

y2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解: (1)y'?2y?e?x,y|x?0?x5; 4

2?3x2y?1 y|x?1?0; (2)y??x3(3)y??ytanx?secx,y|x?0?0; ysinx,y|x???1; ?xxcosx(5)y??ycotx?5e,y|???4;

(4)y??x?2x?e

(6)xlnxdy?(y?lnx)dx?0, y答案 (1) y?2e2x?1.

1?1x133x2x; ?e??; (2) 2y?x?xe24(3) y?xsecx; (4) y?(5) ysinx?5e

3求解方程

cosx1(??1?cosx); x1??. lnx??1; (6)y??lnx?1?2?dyd?d??y??(x), ?(x)是x的已知函数. dxdxdxd?d?,Q(x)??(x), dxdx解 原方程实际上是标准的线性方程,其中P(x)?直接代入通解公式,得通解

d?d??dx?d??dxdx?dx?(x)edx?C???e??(x)[??(x)e?(x)d??C]??(x)?1?Ce??(x). y?e????dx??4. 质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动. 设力F仅是时间t的函数: F?F(t). 在开始时刻t?0时F(0)?F0, 随着时间t的增大, 此力F均匀的减少, 直到t?T时, F(T)?0. 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.

解 设在时刻t质点的位置为x?x(t),由牛顿第二定律,得质点运动的微分方程

d2xm2?F(t) (1) dt由题设, F(t)随t增大而均匀地减少,F(0)?F0?F(t)?F0?kt. 又F(T)?0?F(t)?F0(1?t/T).

d2xF0t于是方程(1)可以写成 2?F(t)(1?) (2)

mTdt其初始条件为xt?0?0,dx?0. dtt?0在方程(2)式两端积分,得

F0?dxF0?t?t2??t???C1. ??1??dt??dtm?T?m?2T???代入初始条件

dx?0,得C1?0,于是 dtt?0F0?t2t3?dxF0?t2??t???x???????26T??C2, dtm?2Tm????将条件xt?0?0,代入上式,得C2?0.于是所求质点的运动规律

Fx?0m?t2t3?????26T?,0?t?T. ??5 求

dy4?y?x2y的通解. dxx1dy4?y?x2, ydxx解 两端除以y,得

令z?y,得2dz4?x??z?x2,解得z?x2??C?, dxx?2?4?2x?故所求通解为y?x??C?.

?2?

6求方程

dyy??(alnx)y2的通解. dxx解 以y2除方程的两端,得

d(y?1)1?1dy1?1?y?alnx, y?y?alnx,即 ?dxxdxxdz1令z?y?1,则上述方程变为 ?z??alnx.

dxxa??解此线性微分方程得 z?x?C?(lnx)2?.

2???2a??以y?1代z,得所求通解为 yx?C?(lnx)2??1.

2??

习题12-4

1? 判别下列方程中哪些是全微分方程? 并求全微分方程的通解? (1) (x?y)dx?xdy?0;

(2) (xcosy?cosx)y'?ysinx?siny?0; (3) edx?(xe?2y)dy?0;

yy2y2?3x22xdy?0; (4) 3dx?yy4(5)y(x?2y)dx?x2dy?0? (6)(x2?y2)dx?xydy?0? 答案: (1) (x2?y)dx?xdy?0? 解 这里P?x2?y? Q??x ? 因为

?P??1??Q?x? ?y所以此方程是全微分方程? 其通解为

?C?0xdx??0xdy? 即

x2y1x3?xy?C 3?

(2) (xcos y?cos x)y??ysin x?sin y?0?

解 原方程变形为(xcos y?cos x)dy?(ysin x?sin y)dx?0? 这里P??(ysin x?sin y)? Q?xcos y?cos x? 因为

?Q?P?coys?sinx??x? ?y所以此方程是全微分方程? 其通解为

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