?0x0dx??(xcosy?cosx)dy?C0y?
即 xsin y?ycos x?C?
(3)eydx?(xey?2y)dy?0? 解 这里P?ey? Q?xey?2y? 因为
?P?ey??Q?x? ?y所以此方程是全微分方程? 其通解为
?0xe0dx??(xey?2y)dy?C0y?
即 xey?y2?C?
y2?3x22xdy?0 (4) 3dx?yy4解
?P6x?Q??4?,原方程是全微分方程, ?y?xy将左端重新组合
1dy?y2?2x3x2??dx?dy?4?y3??dy???x2??1??????y???d?y3??d?????1x2??????yy3?, ??1x2原方程的通解为??3?C.
yy (5) y(x?2y)dx?x2dy?0?
解 这里P?y(x?2y)? Q??x2? 因为
?P?x?4y?Q??2x ?y? ?x? 所以此方程不是全微分方程? (6)(x2?y2)dx?xydy?0? 解 这里P?x2?y2? Q?xy? 因为
?P?2y?Q?y?y?x ? ? 所以此方程不是全微分方程?
2? 利用观察法求出下列方程的积分因子? 并求其通解? (1) (x?y)(dx?dy)?dx?dy? (2) ydx?xdy?yxdx?0? (3) y(x?3y)dx?(1?3yx)dy?0?
(4) xdx?ydy?(x?y)dx? (5) (x?y)dx?2xydy?0? (6)2ydx?3xydx?xdy?0?
22
2
2
2
2
2
答案: (1)(x?y)(dx?dy)?dx?dy?
1 解 方程两边同时乘以x?y得
dx?dy?dx?dyx?y? 即d(x?y)?dln(x?y)?
1所以x?y为原方程的一个积分因子? 并且原方程的通解为 x?y?ln(x?y)?C? (2)ydx?xdy?y2xdx?0?
12 解 方程两边同时乘以y得
2yd?xxdyxx?xdx?0d()?d()?02y2 ? 即y?
12所以y为原方程的一个积分因子? 并且原方程的通解为
x?x2?C y2?
(3)y2(x?3y)dx?(1?3y2x)dy?0? 解 原方程变形为
xy2dx?3y3dx?dy?3x2dy?0?
12两边同时乘以y并整理得
2dyxxdx?2?(3yd?x3xd)y?0d()?d(1)?3d(xy)?0yy ? 即2?
12所以y为原方程的一个积分因子? 并且原方程的通解为
x2?1?3xy?C 2y? (4)xdx?ydy?(x2?y2)dx?
122 解 方程两边同时乘以x?y得
xdx?ydy1ln(x2?y2)]?dx?0?dx?0d[22 x?y? 即2?
122所以x?y为原方程的一个积分因子? 并且原方程的通解为
x2?y2?Ce2x? (5)(x?y2)dx?2xydy?0?
解 原方程变形为 xdx?y2dx?2xydy?0?
1两边同时乘以x2得
y2dx?2xydy?y2dx?0d(lnx)?d()?02xxx ? 即?
1所以x2为原方程的一个积分因子? 并且原方程的通解为 y2lnx??Cx ? 即xln x?y2?Cx?
(6)2ydx?3xy2dx?xdy?0? 解 方程两边同时乘以x得
2xydx?x2dy?3x2y2dx?0? 即yd(x2)?x2dy?3x2y2dx?0? 再除以y2得
2yd(x2)?x2dyx2?3xdx?0d(?x3)?02y ? 即y
x2所以y为原方程的一个积分因子? 并且原方程的通解为
x2?x3?0 y?
1 3? 验证xy[f(xy)?g(xy)]是微分方程yf(xy)dx?xg(xy)dy?0的积分因子? 并求下列方程的通解?
1 解 方程两边乘以xy[f(xy)?g(xy)]得
1[yf(xy)dx?xg(xy)dy]?0xy[f(xy)?g(xy)] ?
这里
P?f(xy)g(xy)Q?x[f(xy)?g(xy)]? y[f(xy)?g(xy)]?
?P?f(xy)g?(xy)?f?(xy)g(xy)??Q?x? [f(xy)?g(xy)]2 因为?y1所以xy[f(xy)?g(xy)]是原方程的一个积分因子? (1)y(x2y2?2)dx?x(2?2x2y2)dy?0?
解 这里f(xy)?x2y2?2? g(xy)?2?2x2y2 ? 所以
1?133 xy[f(xy)?g(xy)]3xy
133是方程的一个积分因子? 方程两边同乘以3xy得全微分方程 x2?2dx?2?x2y2dy?0323x2y3 3xy?
其通解为
?1xx2?2dx?y2?x2y2dy?C?13x2y33x3?
1(lnx?lny2?1?1)?C12222xy23xyx?Cye即 ? 或?
(2)y(2xy?1)dx?x(1?2xy?x3y3)dy?0?
解 这里f(x y)?2x y?1? g(x y)?1?2x y?x3 y3 , 所以
11?44 xy[f(xy)?g(xy)]xy
144是方程的一个积分因子? 方程两边同乘以xy得全微分方程 2xy?11?2xy?x3y3dx?dy?04334xy xy?
其通解为
? 1x2x?1x422dx??y1?2xy?x3y31x3y4dy?C?
1?1?ln|y|?C33即 xy3xy?
4? 用积分因子法解下列一阶线性方程? (1)xy??2y?4ln x?
y??2y?4lnxxx 解 原方程变为? 其积分因子为
?xdx?x2?(x)?e ?
y??2y?4lnxxx在方程的两边乘以x2得
2 x2y??2xy?4x ln x? 即(x2y)??4xln x? 两边积分得
x2y??4xlnxdx?2x2lnx?x2?C?
y?2lnx?1?Cx2? 原方程的通解为
(2)y??tan x?y?x?
??tanxdx?(x)?e?cosx? 解 积分因子为
在方程的两边乘以cos x得
cos x?y??sin x?y ?xcos x? 即(cos x?y)??xcos x? 两边积分得
coxs?y??xcoxsdx?xsinx?coxs?C?
y?xtanx?1?Ccosx? 方程的通解为
习 题12-5
1. 求下列各微分方程的通解
x（1）y???e； （2） y???y??x；
3（3）xy???y??0； （4） y???(y?)?y'?0； （5） (1?x)2d2ydx2x?2xdy3?0 ； （6） yy???1?0. dx答案1、（1）y?e?c1x?c2（2）y??x12x?x?c1ex?c2（3）y?C1lnx?C2 2?x3?22?（4）y?arcsin(c1e)?c2（5）y?C1??x?3??C2.（6）c1y?1?(c1x?c2)
??2. 求下列各微分方程满足所给出初始条件的特解 （1）y???e2x?cosx, y(0)?0,y?(0)?1；
x?0（2）(1?x)y???2xy?, y（3）2(y?)2?y??(y?1)，y(4) y???2y，y23x?02?1, y?2，y?x?0?3；
?1；
x?1?x?1??y?x?0?1 ;
(5)yy???2(y??y?), y(0)?1, y?(0)?2. 答案2、(1)y?(5) y?tan(x?112x151 e?cosx?x?. (2) y?x3?3x?1.（3）y?1? （4）y?x4241?x?).
43、 求微分方程xy???2y??1满足y(1)?2y?(1), 且当x?0时，y有界的特解.
答案解法1 所给方程不显含y,属y???f(x,y?)型,令y??p,则y???p?,代入方程降阶后求解,
此法留给读者练习.
解法2 因为xy???2y??(xy??y)?,即y??C1y?1?1,这是一阶线性微分方程，解得 xx