y?Cx?C1?2, 2xx11?C1,由此得y??及y(1)??C1, 222因为x?0时，y有界,得C2?0,故y?1x1又由已知条件y(1)?2y?(1),得C1?,从而所求特解为y??.
2224、求满足下列条件的可微函数 y?f(x)．
（1） ?(4t?5)f(t)dt?3(x?2)?f(t)dt；（2） f(0)?1．
11xx答案4、f(x)?(x?1)
5 设有一均匀、柔软的而无伸缩性的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂. 求绳索曲
线在平衡状态时的方程.
解 设绳索的最低点为A.取y轴通过点A铅直向上，并取x轴水平向右，且|OA|等于某个定值(这个定值将在以后说明).设绳索曲线的方程为y?y(x).考察绳索上点A到另一点M(x,y)间的一段弧AM,设其长为s.假定绳索的线密度为?，则弧AM的重量为?gs.由于绳索是柔软的，因而在点A处的张力沿水平的切线方向，其大小设为H;在点M处的张力沿该点处的切线方向，设其倾角为?,其大小为T(如图).
2
因作用于弧段AM的外力相互平衡，把作用于弧段AM上的力沿铅直及水平两方向解得
Tsin???gs,Tcos??H.
??两式相除得 tan由于tan??y?,s??代入上式即得 y??x1sa?H???a???. ?g??01?y?2dx,
1x2?1?ydx. ?0a将上式两端对x求导，便得y?y(x)满足得微分方程 y???11?y?2. (1) ax?0取原点O到点A的距离为定值a,即|OA|?a,则初始条件为y对方程(1)，设y??p,则y?????a,y?x?0?0.
dp,代入并分离变量得： dx?dxx arshp??C1. aadp1?p2由y?x?0?0得C1?0 arshp?将条件yx?0xxx. 即y??sh y?ach?C2. aaa?a代入上式，得 C2?0.
xx??xa?于是该绳索的曲线方程为 y?ach??ea?ea?. 这曲线叫做悬链线.
?a2???
习题12-6
1.下列函数组在其定义域内哪些是线性相关的，哪些是线性无关的?
axbx(1)3sin2x,1?cos2x； (2)e,e;
(3)cos2x,sin2x； (4)lnx,xlnx.
答案: (1) 线性相关(2) 线性无关(3) 线性无关(4) 线性无关
2. (1)验证y1?cos?x及y2?sin?x都是方程y''??2y?0的解. 并写出方程的通解;
1(2)验证y?c1cos3x?c2sin3x?(4xcosx?sinx),(c1,c2是任意常数) 是方程
32y''?9y?xcosx的通解.
3. 已知y1?xex?e2x,y2?xex?e?x,y3?xex?e2x?e?x是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解：
（1）求此方程的通解； （2）写出此微分方程；
（3）求此微分方程满足y(0)?7,y?(0)?6的特解.
解 (1) 由题设知, e2x?y3?y2,e?x?y1?y2是相应齐次线方程的两个线性无关的解,且
y1?xex?e2x,是非齐次线性方程的一个特解，故所求方程的通解为
y?xex?e2x?C0e2x?C2e?x?xex?C1e2x?C2e?x，其中C1?1?C0.
(2) 因y?xex?C1e2x?C2e?x ① 所以y??ex?xex?2C1e2x?C2e?x② y???2ex?xex?4C1e2x?C2e?x
从这两个式子中消去C1,C2,即所求方程为y???y??2y?ex?2xex; (3) 在①, ②代入初始条件y(0)?7,y?(0)?6,得 C1?C2?7,2C1?C2?1?6?C1?4,C2?3,
从而所求特解为 y?4e2x?3e?x?xex.
d2y2dysinx4. 已知y1?是方程2??y?0的一个解, 试求方程的通解.
xdxxdx解 作变换y?y1zdx,则有
dy1d2y1d2ydzdy1dy?y1?2z?zdx. ?y1z?zdx,dxdxdxdxdx2dx2???代入题设方程，并注意到y1是题设方程的解,有
y1dz?dy12y1???2??z?0, dx?dxx?将y1代入，并整理,得 C1dz. ??2zcotx?z?2dxsinx故所求通解为
y?y1zdx??sinx?C11?sinxdx?C.?(?Ccotx?C)?(C2sinx?C1cosx). 2?12?x?sin2xxx?其中C1,C2为任意常数.
dy?Cx.从而得到对应齐次方程的通解y?C1x2?C2. dx为求非齐次方程的一个解y?,将C1,C2换成待定函数u1,u2,设y??u1x2?u2,根据常数变易法, u1,u2满足下列方程组
2???1?u2??011?xu1??,u2???x2. ?u1???0?u2??x22??2xu1x31积分并取其一个原函数得u1?x,u2??.于是，题设原方程的一个特解为
62x3x3x3y?u1x?u2?1???.
263*2从而题设方程的通解为
x3y?C1x?C2?.
32
习题12-7
1、 求下列微分方程的通解
(1) y″＋3y′＋2y＝0; (2) 3y″＋2y′＝0;
(3) y″＋4y＝0; (4) 4dx/dt－20 dx/dt＋25x＝0;
(5) y???2y??3y?0; (6) y???4y??4y?0; (7) y???2y??5y?0; (8）y???4y??13y?0; (9）y －y＝0;其中??0; （10）y(4)?2y????5y???0;
(4)
2
2
d4w?5??3?（11）4??4w?0; (12) y?2y?y??0;
dx (13) y?2y?y???2y?0; (14) y－2y ＋y″＝0． 答案: (1) y″＋3y′＋2y＝0
(4)
(3)
?6?(4)解 特征方程:r＋3r＋2＝0． 即：（r＋1）(r＋2) ＝0得特征根: r1＝-1, r2＝-2 所以线性无关的特解为: y1＝e ,y2＝e
(2) 3y″＋2y′＝0
解 特征方程: 3r＋2r＝0． 即: r(3r＋2) ＝0． r1＝0, r2＝-2/3． 所以 y＝C1e＋C2e
(3) y″＋4y＝0
解 特征方程: r＋4＝0, r＝±2i, 所以y＝C1cos2x＋C2sin2x． (4) 4dx/dt－20 dx/dt＋25x＝0．
解 分析此题t 为自变量,x是t的函数,依然是二阶常系数齐次方程． 特征方程: 4r－20r＋25＝0． 即(2r－5)＝0, r1＝r2＝5/2． 所以x＝(C1＋C2t) e
5t/2
2
2
2
2
2
0x
-2/3x
2
-x
-2x
2
． 所以方程的通解为: y＝C1e＋C2e
-x-2x
＝C1＋C2e
-2/3x
为所求．
(5)求方程y???2y??3y?0的通解.
解 所给微分方程的特征方程为r2?2r?3?0,
其根r1??1,r2?3是两个不相等的实根，因此所求通解为y?C1e?x?C2e3x.
(6）求方程y???4y??4y?0的通解.
解 特征方程为r2?4r?4?0,解得r1?r2??2,故所求通解为y?(C1?C2x)e?2x.
(7）求方程y???2y??5y?0的通解.
解 特征方程为r2?2r?5?0,解得r1,2??1?2i,故所求通解为
y?e?x(C1cos2x?C2sin2x).
(8)求方程y???4y??13y?0的通解．
解 特征方程为 r?4r?13?0． 特征根为 r1?2?3i， r2?2?3i． 所以原方程的通解为
(9) y
(4)
2 y?e(C1cos3x?C2sin3x)．
－y＝0．
4
2
2x解 特征方程: r－1＝0． (r＋1)( r－1)( r＋1）＝0． r1．2＝±i, r3＝1, r4＝-1． 所以y＝C1cosx＋C2sinx＋C3e＋C4e为所求．
（10）求方程y(4)?2y????5y???0的通解.
解 特征方程为r4?2r3?5r2?0,即r2(r2?2r?5)?0, 特征根是r1?r2?0和r3，4??1?2i,因此所给微分方程的通解为
y?C1?C2x?ex(C3cos2x?C4sin2x).
x
-x
d4w（11）求方程4??4w?0的通解, 其中??0.
dx解 特征方程为r4??4?0.由于
r4??4?r4?2r2?2??4?2r2??(r2??2)2?2r2?2?(r2?2?r??2)(r2?2?r??2),
特征方程为(r2?2?r??2)(r2?2?r??2)?0,特征根为r1,2?因此所给方程的通解为
??2(1?i),r3,4???2(1?i),
w?e
2x????x?C2sinx??C1cos??e22?????2x?????Ccosx?Csinx?4?3?.
22??