(12) y?5??2y?3??y??0;
解 特征方程为r5?2r3?r?0,即r(r2?1)2?0,特征根r1?0,r2?r3?i,r4?r5??i,
通解为y?C1?(C2?C3x)cosx?(C4?C5x)sinx. (13)y?6??2y(4)?y???2y?0.
解 特征方程为r6?2r4?r2?2?0,即(r2?2)(r4?1)?0, 特征根r1?2,r2??2,r3?1,r4??1,r5?i,r6??i, 通解为y?C1e(14) y
(4)
2x?C2e?(3)
2x?C3ex?C4e?x?C5cosx?C6sinx.
－2y ＋y″＝0
3
2
2
2
2
2
解 特征方程: r－2r＋r＝r(r－2r＋1) ＝r(r－1)＝0 r1＝r2＝0． r3＝r4＝1． 所以 y＝C1＋C2x＋(C3＋C4x)e为所求．
说明 解二阶常系数齐次线性方程: y″＋py′＋qy＝0时,必须能正确的写出特征方程,求出特征根,尽而求得通解．(5)(6)是四阶常系数齐次方程．通解中应含有4个独立的任意常数．
x
4
2. 设函数??x?连续且满足:
??x??e??t??t?dt?x???t?dtx00xx 求??x?．
分析 此题未知函数Q(x)出现在积分号内,这样的方程称为积分方程．在积分方程中,令x适当取值,可以得出未知函数满足的初始条件，利用变上限定积分的导数公式，还可以得到未知函数满足的微分方程．从而可以把求未知函数的问题化为求微分方程满足初始条件的特解的问题．
解 记:
??x??ex??t??t?dt?x???t?dt00xx 为(1)，方程两边求导,得:
x?'?x??ex?x??x?????t?dt?x??x?0 (2)
xx
再求导得: ?″(x)＝e－?(x)． 即?″(x)＋?(x)＝e． 这是二阶常系数非齐次方程．当x＝0 x
时． 由(1)得: ?(0)＝1; 由(2)式, 当x＝0 时,得: ?′(0)＝1． 此题转化为求?″(x)＋?(x)＝e 满足?(0)＝1, ?′(0)＝1的特解．
2
由特征方程 r＋1＝0． r＝±i． ?(x)＝C1cosx＋C2sinx．
???x??Aex,???x??Aex ?'?''(x＝Ae
x
x
代入 ?″(x)＋?(x)＝e
得 2Ae＝e
x *
设A＝1/2． 所以?(x)＝1/2e所以
xx
?(x)＝C1cosx＋C2sinx＋1/2ex (3)
? ′(x)＝－C1sinx＋C2cosx＋1/2ex (4)
将?(0)＝1代入(3) ?′(0)＝1代入(4)得:1＝C1+ 1/2 C1＝1/2; 1＝C2+ 1/2 C2＝1/2．
所以?(x)＝1/2(cosx＋sinx＋e)为所求． 答案2．f(x)?x
1(sinx?cosx?ex) 2y1?ex,y2?xex,y3?cos2x,y4?3sin2x,
3. 已知一个四阶常系数齐次线性微分方程的四个线性无关的特解为
求这个四阶微分方程及其通解.
解 由y1与y2可知，它们对应的特征根为二重根r1?r2?1, 由y3与y4可知，它们对应的特征根为一对共轭复根r3,4??2i. 所以特征方程为(r?1)2(r2?4)?0,即r4?2r3?5r2?8r?4?0, 它所对应的微分方程为y(4)?2y????5y???8y??4y?0, 其通解为y?(C1?C2x)ex?C3cos2x?C4sin2x.
4.设圆柱形浮筒，直径为0.5m，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为2s，求浮筒的质量． 略.
习题12-8
1.下列方程具有什么样形式的特解?
(1) y???5y??6y?e3x; (2) y???5y??6y?3xe?2x; (3) y???2y??y??(3x?1)e;(4)y''?2y'?5y?esin2x.
解 (1) 因??3不是特征方程r2?5r?6?0的根,故方程具有特解形式：y*?b0e3x; (2) 因???2是特征方程r2?5r?6?0的单根,故方程具有特解形式:y*?x(b0x?b1)e?2x; (3) 因???1是特征方程r2?2r?1?0的二重根，所以方程具有特解形式：
y*?x2(b0x2?b1x?b2)e?x.
2?xx(4) 因??1?2i是特征方程r2?2r?5?0的二重根，所以方程具有特解形式：
y*?xex(acos2x?bsin2x).
2.求下列方程的一个特解.
(1) y???2y??3y?3x?1； (2) y???2y??y?(6x?4)e?x?1.
（1）解 题设方程右端的自由项为f(x)?Pm(x)e?x型，其中Pm(x)?3x?1,??0. 对应的齐次方程的特征方程为r2?2r?3?0, 特征根为r1??1,r2?3. 由于??0不是特征方程的根，所以就设特解为y*?b0x?b1. 把它代入题设方程,得 ?3b0x?2b0?3b1?3x?1, ??3b0?3?b0??1比较系数得?. ,解得??2b?3b?1b?1301?1?2x1于是，所求特解为y*??x?.
3（2）其对应齐次方程的特征方程为r2?2r?1?0,解得特征根为r1?r2?1.由第六节定理4知,题设方程的特解是下列两个方程的特解的和:
y???2y??y?(6x2?4)ex (1)
y???2y??y?x?1 (2)
2?b1x?b2)x2ex, 因特征方程有重根r?1,所以设方程(1)的特解 y*1?(b0x将其代入方程(1)并消去ex,整理后得
112b0x2?6b1x?2b2?6x2?4,即b0?,b1?0,b2??2,
212于是得特解y*x?2)x2ex. 1?(2又因特征方程有重根r?1,所以设方程(2)的特解为 y*2?Ax?B. 求导后代入方程，解出A?1,B?3,得特解 y*2?x?3 所以题设方程的特解为：
12*y*?y*x?2)x2ex?x?3. 1?y2?(23.求下列方程的通解.
(1) y???3y??2y?xe2x； (2) y???y?x?ex；
(3) y????3y???3y??y?ex；(4) y???y?4sinx. （5）y???y?xcos2x
解 (1) 题设方程对应的齐次方程的特征方程为r2?3r?2?0,特征根为r1?1,r2?2, 于是，该齐次方程的通解为Y?C1x?C2e2x,
因??2是特征方程的单根，故可设题设方程的特解：y*?x(b0x?b1)e2x. 1代入题设方程,得2b0x?b1?2b0?x,比较等式两端同次幂的系数,得b0?,b1??1,
21于是，求得题没方程的一个特解y*?x(x?1)e2x.
2从而，所求题设方程的通解为
1y?C1ex?C2e2x?x(x?1)e2x.
2
(2) 特征方程为r2?1?0,特征根为r1?i,r2??i, 故对应齐次方程的通解为 Y?C1cosx?C2sinx,
**?x,y???y?ex的一个特解为y2观察可得, y???y?x的一个特解为y1?1xe. 2为由非齐次线性微分方程的叠加原理知
**y*?y1?y2?x?1xe 21是原方程的一个特解，从而原方程的通解为 y?C1cosx?C2sinx?x?ex.
2
(3)对应的齐次方程的特征方程为r3?3r2?3r?1?0,特征根r1?r2?r3??1. 所求齐次方程的通解
Y?(C1x?C2x?C3x2)e?x.
由于??1不是特征方程的根，因此方程的特解形式可设为y*?b0ex,代入题设方程易解得 1b0?,故所求方程的通解为
81y?Y?y*?(C1?C2x?C3x2)e?x?ex.
8
(4)求方程y???y?4sinx的通解.
解 对应齐次方程的特征方程的特征根为r1,2??i,故对应齐次方程的通解
Y?C1cosx?C2sinx.
作辅助方程y???y?4eix.
???i是单根,故设y?Axeix.代入上式得2Ai?4?A??2i,
*?y??2ixeix?2xsinx?i(2xcosx),取虚部得所求非齐次方程特解为y??2xcosx.
从而题设方程的通解为
y?C1cosx?C2sinx?2xcosx.
**
f(x)?Pm(x)e?xcos?x或Pm(x)e?xsin?x型
（5）求方程y???y?xcos2x的通解.
解 对应齐次方程的特征方程的特征根为r1,2??i,故对应齐次方程的通解
Y?C1cosx?C2sinx
作辅助方程y???y?xe2ix.
???2i不是特征方程的根，故设y?(Ax?B)e2ix,代入辅助方程得 144Ai?3B?0,?3A?1?A??,B??i
93*4?4??1?1?y???x?i?e2ix???x?i?(cos2x?isin2x)
9?9??3?3114?4???xcos2x?sin2x?i?cos2x?xsin2x?
339?9?*取实部得到所求非齐次方程的一个特解:
14y??xcos2x?sin2x.
39所求非齐次方程的通解为
14y?C1cosx?C2sinx?xcos2x?sin2x.
394．求y″＋4y＝1/2 (x＋cos2x)满足条件: y′(0) ＝y(0) ＝0的特解．
解 特征方程: r＋4＝0． r＝±2i． Y＝C1cos2x＋C2sin2x．f1(x)＝x/2． f2(x)＝1/2 cos2x
????*y?0.y,yy?A1111设y1＝Ax+B．,将代入y″＋4y＝x/2． 得 0＋4Ax＋4B＝1/2x 解出: A
'2
''''*
＝1/8 B＝0 所以y1＝1/8 x
*
设 y2＝x(Ccos2x＋Dsin2x)．