必修五阶段测试一(第一章 解三角形)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2017·江西金溪一中月考)已知△ABC中，a＝2，b＝3，B＝60°，那么∠A＝( ) A．45° B．90° C．130°或45° D．150°或30° π
2．在△ABC中，B＝，AB＝8，BC＝5，则△ABC外接圆的面积为( )
349π47π
A. B．16π C. D．15π 33
3．(2017·黑龙江鸡西期末)已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( )
A．75° B．60° C．45° D．30° 4．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sinB·sinC＋sin2C，则A等于( ) A．30° B．60° C．120° D．150°
5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a>b>c, a2 π?πππππ，π B.?，? C.?，? D.?0，? A.??2??42??32??2?6．(2017·阆中中学质检)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果bcosC＋ccosB－asinA＝0，那么△ABC的形状为( ) A．直角三角形 C．钝角三角形 B．锐角三角形 D．不确定 7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝( ) 72477A. B. C．－ D．± 25252525 8．(2017·青海师范大学附属中学月考)在△ABC中，A＝30°，B＝60°，C＝90°，那么三边之比a∶b∶c等于( ) A．1∶2∶3 B．3∶2∶1 C．1∶3∶2 D．2∶3∶1 9．在△ABC中，b＝8, c＝83， S△ABC＝163，则∠A等于( ) A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 10．(2017·莆田六中期末)如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC＝50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为( ) A．503 m B．253 m C．252 m D．502 m AC 11．在锐角△ABC中，B＝2A，则的取值范围是( ) BC A．(－2,2) B．(2，2) C．(0，3) D．(2，3) 12.A，B两地相距200 m，且A地在B地的正东方．一人在A地测得建筑C在正北方，建筑D在北偏西60°；在B地测得建筑C在北偏东45°，建筑D在北偏西15°，则两建筑C和D之间的距离为( ) A．2002 m B．1007 m C．1006 m D．100(3－1)m 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________. ba 14．(2017·唐山一中月考)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若＋＝ abtanCtanC 6cosC，则＋＝________. tanAtanB 15．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为________． 16．已知△ABC的面积为 3π ，AC＝3，∠ABC＝，则△ABC的周长等于_________． 23 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝5，AB＝7，∠BDA＝60°，∠CBD＝15°，求BC的长． 18.(12分)(2017·贵州铜仁期中)设a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，S是△ABC的面积，已知a＝4，b＝5，S＝53. (1)求角C； (2)求c边的长度． b2＋c2－a28 19．(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＝S△ABC(其 23中S△ABC为△ABC的面积)． (1)求sin2 B＋C ＋cos2A； 2 (2)若b＝2，△ABC的面积为3，求a. 20.(12分)(2017·河北开滦一中期末)如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2. (1)求cos∠CBE的值； (2)求AE. 21．(12分)(2017·山西省朔州期末)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且357a＝4，cosA＝，sinB＝，c>4. 416 (1)求b； (2)求证：C＝2A. 22．(12分)如图所示，一辆汽车从O点出发，沿海岸一条直线公路以100 km/h的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O点南偏东方向距O点500 km，且与海岸距离为300 km的海上M处有一快艇，与汽车同时发出，要把一件重要物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少必须以多大的速度行驶，才能把物品送到司机手中，并求快艇以最小速度行驶的行驶方向与OM所成的角． 答案与解析 ab 1．A 由正弦定理＝， sinAsinBasinB2sin60°2 得sinA＝＝＝. b23又a 1 2．A 由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝64＋25－2×8×5×＝49，∴AC 2＝7. ACAC773 由正弦定理得＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，∴R＝＝＝.∴△ABC sinB2sinB33 2×249π 外接圆的面积S＝πR2＝. 3 1 3．B S△ABC＝BC·CA·sinC， 21 ∴×4×3·sinC＝33， 2∴sinC＝ 3， 2 又△ABC是锐角三角形，∴C＝60°，故选B. 4．C 由正弦定理，得sinA＝ abc ， sinB＝， sinC＝(其中R为△ABC外接圆半径)，2R2R2R 代入sin2A＝sin2B＋sinB·sinC＋sin2C，得a2＝b2＋bc＋c2＝b2＋c2＋bc，即b2＋c2－a2＝－bc，b2＋c2－a2－bc1 由余弦定理得cosA＝＝＝－. 2bc2bc2 又0°<∠A<180°，∴∠A＝120°.故选C. b2＋c2－a2 5．C 解法一：cosA＝， 2bc a2＋c2－a2cb11 ∵a 2bc2b2b22 2 2 2, ππ?∴∠A的范围为??3，2?，故选C. π解法二：∵a>b>c, ∴a为最长边，∠A>. 3πππ 又a2 2326．A bcosC＋ccosB－asinA＝0， ∴sinBcosC＋sinCcosB－sin2A＝0. ∴sin(B＋C)－sin2A＝0. ∴sinA－sin2A＝0，∴sinA＝0(舍去)或sinA＝1， π ∴A＝.故选A. 2 7．A ∵C＝2B，∴sinC＝sin2B＝2sinBcosB.又∵8b＝5c，sinC184 ∴cosB＝＝×＝. 2sinB255 4?27 ∴cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝2×?－1＝. ?5?25 13 8．C a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝∶∶1＝1∶3∶2，故选C. 222S△ABC11 9．C ∵S△ABC＝bcsinA, ∴sinA＝＝. 2bc2∴∠A＝30°或150°，经检验均满足已知条件，故选C. 10．D ∠CBA＝180°－∠ACB－∠CAB＝180°－45°－105°＝30°， ∴ AC·sin∠BCA50×sin45°ABAC＝，∴AB＝＝＝502 m．故选D. sin30°sin∠BCAsin∠CBAsin∠CBA cbcsinC8 ＝，∴＝＝.sinCsinBbsinB5 11．D ∵B＝2A， ACsinBsin2A ∴＝＝＝2cosA， BCsinAsinA∵△ABC是锐角三角形， ?2A＜2，∴?π π－3A＜，?2 ππ∴＜A＜， 64 π ∴2＜2cosA＜3，故选D. 12．C 由题可知△BCA是等腰直角三角形， ∴AB＝AC＝200，BC＝2002， ∠DBC＝15°＋45°＝60°， ∵∠DAB＝90°－60°＝30°， ABDB∴∠BDA＝45°，∴＝. sin45°sin30°AB·sin30° ∴DB＝＝1002， sin45°∴DC2＝DB2＋BC2－2DB·BC·cos60° 1＝(1002)2＋(2002)2－2×1002×2002× 2＝6×1002， ∴DC＝1006 m，故选C.