高中数学必修五第一章测试题.

必修五阶段测试一(第一章 解三角形)

时间:120分钟 满分:150分

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.(2017·江西金溪一中月考)已知△ABC中,a=2,b=3,B=60°,那么∠A=( ) A.45° B.90° C.130°或45° D.150°或30° π

2.在△ABC中,B=,AB=8,BC=5,则△ABC外接圆的面积为( )

349π47π

A. B.16π C. D.15π 33

3.(2017·黑龙江鸡西期末)已知锐角△ABC的面积为33,BC=4,CA=3,则角C的大小为( )

A.75° B.60° C.45° D.30° 4.在△ABC中,sin2A=sin2B+sinB·sinC+sin2C,则A等于( ) A.30° B.60° C.120° D.150°

5.在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且a>b>c, a2

π?πππππ,π B.?,? C.?,? D.?0,? A.??2??42??32??2?6.(2017·阆中中学质检)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果bcosC+ccosB-asinA=0,那么△ABC的形状为( )

A.直角三角形 C.钝角三角形

B.锐角三角形 D.不确定

7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知8b=5c,C=2B,则cosC=( )

72477A. B. C.- D.± 25252525

8.(2017·青海师范大学附属中学月考)在△ABC中,A=30°,B=60°,C=90°,那么三边之比a∶b∶c等于( )

A.1∶2∶3 B.3∶2∶1 C.1∶3∶2 D.2∶3∶1 9.在△ABC中,b=8, c=83, S△ABC=163,则∠A等于( )

A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° 10.(2017·莆田六中期末)如图,已知A,B两点分别在河的两岸,某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C,测得AC=50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A,B两点的距离为( )

A.503 m B.253 m C.252 m D.502 m AC

11.在锐角△ABC中,B=2A,则的取值范围是( )

BC

A.(-2,2) B.(2,2) C.(0,3) D.(2,3)

12.A,B两地相距200 m,且A地在B地的正东方.一人在A地测得建筑C在正北方,建筑D在北偏西60°;在B地测得建筑C在北偏东45°,建筑D在北偏西15°,则两建筑C和D之间的距离为( )

A.2002 m B.1007 m C.1006 m D.100(3-1)m 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C=________.

ba

14.(2017·唐山一中月考)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若+=

abtanCtanC

6cosC,则+=________.

tanAtanB

15.三角形的一边长为14,这条边所对的角为60°,另两边之比为8∶5,则这个三角形的面积为________.

16.已知△ABC的面积为

,AC=3,∠ABC=,则△ABC的周长等于_________. 23

三、解答题(本大题共6小题,共70分)

17.(10分)在四边形ABCD中,AD⊥CD,AD=5,AB=7,∠BDA=60°,∠CBD=15°,求BC的长.

18.(12分)(2017·贵州铜仁期中)设a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,S是△ABC的面积,已知a=4,b=5,S=53.

(1)求角C;

(2)求c边的长度.

b2+c2-a28

19.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且=S△ABC(其

23中S△ABC为△ABC的面积).

(1)求sin2

B+C

+cos2A; 2

(2)若b=2,△ABC的面积为3,求a.

20.(12分)(2017·河北开滦一中期末)如图,△ACD是等边三角形,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD交AC于E,AB=2.

(1)求cos∠CBE的值; (2)求AE.

21.(12分)(2017·山西省朔州期末)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,且357a=4,cosA=,sinB=,c>4.

416

(1)求b; (2)求证:C=2A.

22.(12分)如图所示,一辆汽车从O点出发,沿海岸一条直线公路以100 km/h的速度向东匀速行驶,汽车开动时,在O点南偏东方向距O点500 km,且与海岸距离为300 km的海上M处有一快艇,与汽车同时发出,要把一件重要物品递送给这辆汽车的司机,问快艇至少必须以多大的速度行驶,才能把物品送到司机手中,并求快艇以最小速度行驶的行驶方向与OM所成的角.

答案与解析

ab

1.A 由正弦定理=,

sinAsinBasinB2sin60°2

得sinA===.

b23又a

1

2.A 由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=64+25-2×8×5×=49,∴AC

2=7.

ACAC773

由正弦定理得=2R(R为△ABC外接圆的半径),∴R===.∴△ABC

sinB2sinB33

2×249π

外接圆的面积S=πR2=.

3

1

3.B S△ABC=BC·CA·sinC,

21

∴×4×3·sinC=33, 2∴sinC=

3, 2

又△ABC是锐角三角形,∴C=60°,故选B. 4.C 由正弦定理,得sinA=

abc

, sinB=, sinC=(其中R为△ABC外接圆半径),2R2R2R

代入sin2A=sin2B+sinB·sinC+sin2C,得a2=b2+bc+c2=b2+c2+bc,即b2+c2-a2=-bc,b2+c2-a2-bc1

由余弦定理得cosA===-.

2bc2bc2

又0°<∠A<180°,∴∠A=120°.故选C. b2+c2-a2

5.C 解法一:cosA=,

2bc

a2+c2-a2cb11

∵ab>c, cosA<=<=,∴cosA>0,且cosA<.

2bc2b2b22

2

2

2,

ππ?∴∠A的范围为??3,2?,故选C.

π解法二:∵a>b>c, ∴a为最长边,∠A>. 3πππ

又a2

2326.A bcosC+ccosB-asinA=0, ∴sinBcosC+sinCcosB-sin2A=0. ∴sin(B+C)-sin2A=0.

∴sinA-sin2A=0,∴sinA=0(舍去)或sinA=1,

π

∴A=.故选A.

2

7.A ∵C=2B,∴sinC=sin2B=2sinBcosB.又∵8b=5c,sinC184

∴cosB==×=. 2sinB255

4?27

∴cosC=cos2B=2cos2B-1=2×?-1=. ?5?25

13

8.C a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=∶∶1=1∶3∶2,故选C.

222S△ABC11

9.C ∵S△ABC=bcsinA, ∴sinA==.

2bc2∴∠A=30°或150°,经检验均满足已知条件,故选C.

10.D ∠CBA=180°-∠ACB-∠CAB=180°-45°-105°=30°, ∴

AC·sin∠BCA50×sin45°ABAC=,∴AB===502 m.故选D.

sin30°sin∠BCAsin∠CBAsin∠CBA

cbcsinC8

=,∴==.sinCsinBbsinB5

11.D ∵B=2A,

ACsinBsin2A

∴===2cosA, BCsinAsinA∵△ABC是锐角三角形,

?2A<2,∴?π

π-3A<,?2

ππ∴<A<, 64

π

∴2<2cosA<3,故选D.

12.C 由题可知△BCA是等腰直角三角形, ∴AB=AC=200,BC=2002, ∠DBC=15°+45°=60°, ∵∠DAB=90°-60°=30°, ABDB∴∠BDA=45°,∴=.

sin45°sin30°AB·sin30°

∴DB==1002,

sin45°∴DC2=DB2+BC2-2DB·BC·cos60°

1=(1002)2+(2002)2-2×1002×2002× 2=6×1002,

∴DC=1006 m,故选C.

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