高考数学重点难点讲解之三角函数式的化简与求值

难点16 三角函数式的化简与求值

三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径,特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧,以优化我们的解题效果,做到事半功倍. ●难点磁场 (★★★★★)已知值_________. ●案例探究 [例1]不查表求sin20°+cos80°+3cos20°cos80°的值. 命题意图:本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法,对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目. 知识依托:熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析:公式不熟,计算易出错. 技巧与方法:解法一利用三角公式进行等价变形;解法二转化为函数问题,使解法更简单更精妙,需认真体会. 解法一:sin20°+cos80°+3sin20°cos80° 2

2

2

2

2

12?3?3<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求sin2α的

4513211 (1-cos40°)+ (1+cos160°)+ 3sin20°cos80° 2211=1-cos40°+cos160°+3sin20°cos(60°+20°) 2211=1-cos40°+ (cos120°cos40°-sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°

22=

cos20°-sin60°sin20°) 331132

cos40°-cos40°-sin40°+sin40°-sin20° 44242331=1-cos40°-(1-cos40°)= 444=1-

解法二:设x=sin20°+cos80°+3sin20°cos80° 2

2

y=cos220°+sin280°-3cos20°sin80°,则 - 1 -

1x+y=1+1-3sin60°=,x-y=-cos40°+cos160°+3sin100° 2=-2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x=y=

1122

,即x=sin20°+cos80°+3sin20°cos80°=. 442

[例2]设关于x的函数y=2cosx-2acosx-(2a+1)的最小值为f(a),试确定满足f(a)=的a值,并对此时的a值求y的最大值. 12命题意图:本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目 知识依托:二次函数在给定区间上的最值问题. 错解分析:考生不易考查三角函数的有界性,对区间的分类易出错. 技巧与方法:利用等价转化把问题化归为二次函数问题,还要用到配方法、数形结合、分类讲座等. a2a2?4a?2解:由y=2(cosx-)-及cosx∈[-1,1]得: 22?1 (a??2)?2?af(a)???2a?1 (?2?a?2) 2?1?4a (a?2)??∵f(a)=

111,∴1-4a=?a=?[2,+∞) 228a21故--2a-1=,解得:a=-1,此时, 2211y=2(cosx+)2+,当cosx=1时,即x=2kπ,k∈Z,ymax=5. 22[例3]已知函数f(x)=2cosxsin(x+(1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值; (3)若当x∈[

?2

)-3sinx+sinxcosx 3?12,

7?-1--1

]时,f(x)的反函数为f(x),求f(1)的值. 12命题意图:本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识,还考查计算变形能力,综合运用知识的能力,属★★★★★级题目. 知识依托:熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识. 错解分析:在求f

--1

(1)的值时易走弯路.

- 2 -

技巧与方法:等价转化,逆向思维. ?2

)-3sinx+sinxcosx 3??2

=2cosx(sinxcos+cosxsin)-3sinx+sinxcosx 33?=2sinxcosx+3cos2x=2sin(2x+) 3解:(1)f(x)=2cosxsin(x+∴f(x)的最小正周期T=π ??5?=2kπ-,即x=kπ- (k∈Z)时,f(x)取得最小值-2.

1232?7??(3)令2sin(2x+)=1,又x∈[,], 223??3??5?∴2x+∈[,],∴2x+=,则 33236??x=,故f--1(1)= . 44(2)当2x+

●锦囊妙计

本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有:

1.求值问题的基本类型:1°给角求值,2°给值求值,3°给式求值,4°求函数式的最值或值域,5°化简求值.

2.技巧与方法:

1°要寻求角与角关系的特殊性,化非特角为特殊角,熟练准确地应用公式. 2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.

3°对于条件求值问题,要认真寻找条件和结论的关系,寻找解题的突破口,很难入手的问题,可利用分析法.

4°求最值问题,常用配方法、换元法来解决. ●歼灭难点训练 一、选择题

1.(★★★★★)已知方程x+4ax+3a+1=0(a>1)的两根均tanα、tanβ,且α,β∈ (-

2

??,221A. 2),则tan

???2

的值是( ) B.-2

C.

4 3 D.

1或-2 2二、填空题

2.(★★★★)已知sinα=

?31,α∈(,π),tan(π-β)= ,则tan(α-2522- 3 -

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