难点16 三角函数式的化简与求值
三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. ●难点磁场 (★★★★★)已知值_________. ●案例探究 ［例1］不查表求sin20°+cos80°+3cos20°cos80°的值. 命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目. 知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错. 技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会. 解法一：sin20°+cos80°+3sin20°cos80° 2
2
2
2
2
12?3?3＜β＜α＜,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α的
4513211 (1－cos40°)+ (1+cos160°)+ 3sin20°cos80° 2211=1－cos40°+cos160°+3sin20°cos(60°+20°) 2211=1－cos40°+ (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°
22=
cos20°－sin60°sin20°) 331132
cos40°－cos40°－sin40°+sin40°－sin20° 44242331=1－cos40°－(1－cos40°)= 444=1－
解法二：设x=sin20°+cos80°+3sin20°cos80° 2
2
y=cos220°+sin280°－3cos20°sin80°，则 - 1 -
1x+y=1+1－3sin60°=，x－y=－cos40°+cos160°+3sin100° 2=－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x=y=
1122
，即x=sin20°+cos80°+3sin20°cos80°=. 442
［例2］设关于x的函数y=2cosx－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=的a值，并对此时的a值求y的最大值. 12命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目 知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题. 错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错. 技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等. a2a2?4a?2解：由y=2(cosx－)－及cosx∈［－1，1］得： 22?1 (a??2)?2?af(a)???2a?1 (?2?a?2) 2?1?4a (a?2)??∵f(a)=
111,∴1－4a=?a=?［2,+∞) 228a21故－－2a－1=，解得：a=－1，此时， 2211y=2(cosx+)2+，当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5. 22［例3］已知函数f(x)=2cosxsin(x+(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值； (3)若当x∈［
?2
)－3sinx+sinxcosx 3?12，
7?－1-－1
］时，f(x)的反函数为f(x)，求f(1)的值. 12命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属★★★★★级题目. 知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识. 错解分析：在求f
-－1
(1)的值时易走弯路.
- 2 -
技巧与方法：等价转化，逆向思维. ?2
)－3sinx+sinxcosx 3??2
=2cosx(sinxcos+cosxsin)－3sinx+sinxcosx 33?=2sinxcosx+3cos2x=2sin(2x+) 3解：(1)f(x)=2cosxsin(x+∴f(x)的最小正周期T=π ??5?=2kπ－，即x=kπ－ (k∈Z)时，f(x)取得最小值－2.
1232?7??(3)令2sin(2x+)=1，又x∈［,］, 223??3??5?∴2x+∈［,］,∴2x+=，则 33236??x=，故f-－1(1)= . 44(2)当2x+
●锦囊妙计
本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：
1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值.
2.技巧与方法：
1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式. 2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.
3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.
4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决. ●歼灭难点训练 一、选择题
1.(★★★★★)已知方程x+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根均tanα、tanβ，且α，β∈ (－
2
??,221A. 2)，则tan
???2
的值是( ) B.－2
C.
4 3 D.
1或－2 2二、填空题
2.(★★★★)已知sinα=
?31，α∈(，π)，tan(π－β)= ，则tan(α－2522- 3 -