裂项相消法求和(比赛课)学案

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数列求和(二)—— 裂项相消法

目标:

1 理解裂项相消法思想。

2 使用裂项相消法解决特殊数列求和问题。 3 在自学与探究中体验数学方法的形成过程。

一、复习巩固

1 公式求和法 适用于求______________的和。 2 分组求和法 适用于求______________的和。 3 错位相减法 适用于求______________的和。

二、自学讨论

学习以下例题,完成填空。(限时8分钟) 思考与讨论:

什么数列可用裂项相消法求和? 如何裂项?你有好的方法吗?

如何相消?你能发现其中的规律吗? 利用裂项相消法求和的一般步骤是什么?

裂项: 1你能证明○

111吗? ??n(n?1)nn?1例一:已知an?1,求Sn

n(n?1)2猜想:○

1=_____________________

n?n?2?11??___________________ nn?2解:?an?111??

n(n?1)nn?1 验证:

?Sn?a1?a2?a3???an?1?an

? 结论:

1?____________________

n(n?2)1=________________

n?n?k?11111?????? 1?22?33?4(n?1)nn(n?1)13143一般地; ○

1112231n? ?1? n?1n?1n?Sn?

n?1 ?(1?)?(?)?(?)???(1111?)?(?) n?1nnn?1相消:怎么消?

哪些项是不能消去的?

变式训练:(1)已知an?

21,求Sn (2)已知an?,求Sn

n(n?2)n?n?1?1

三、增效练习(限时10分钟) 1、已知an?1 ,Sn?________(2n?1)(2n?1)2、

111 ?????________?2n?1??2n?3?3?55?73、1111(只需把消完后的项列出,无需化简) ??????_________

3?54?65?7n(n?2)4、已知an?6n?5n?N*,bn?

5、已知数列?an?的各项如下:1,

??3,求Tn?b1?b2???bn

anan?1111,,…………,。 1?21?2?31?2?3???n求它的前n项和Sn=________________。

四、能力提升

若an是等差数列,则an?1?an?d,所以

11 ??________anan?1an(an?d)进而,Sn?111?????________

a1?a2a2?a3an?1an

五、课堂小结 裂项相消法求和:

对于通项公式可拆成两项的数列,我们通常采用裂项相消法逐项消去前后项求数列的和。 裂项相消法求和的一般步骤:求通项——裂项——相消——求和。

六、作业(背面)

2

1 数列{an}的通项公式是an=

A.11 C.120

,若前n项和为10,则项数为( )

n+n+1

B.99 D.121

1

11212312341

2.已知数列{an}={,+,++,+++,…},那么数列{bn}={}前n项

2334445555anan+1

的和为( )

111

A.4(1-) B.4(-) 2n+1n+1

111

C.1- D.- 2n+1n+1

3.在数列{an}中,a1=2,nan+1=(n+1)an+2(n∈N*),则a10等于( )

A.34 B.36 C.38 D.40

111

4.等差数列{an}中,a1=3,公差d=2,Sn为前n项和,求++…+.

S1S2Sn

5.等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前n项和为Sn,{bn}为等比数列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960.

(1)求an与bn;

111

(2)求和:++…+. S1S2Sn

3

6设正数数列的前n项和Sn满足Sn? ○1求数列?an?的通项公式; ○2设bn?

1?an?1?2。 41,记数列?bn?的前n项和Tn。

an?an?17 在等差数列?an?中,a1=3,其前n项和为Sn,等比数列?bn?的各项均为正数,b1?1,公比为q,且b2?S2?12,q?S2 b21求数列?an??bn?的通项公式; ○2设cn?○

1,求数列?cn?的前n项和Tn。 Sn

4

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