自学考试 - 04184-线性代数(经管类) - 2007-2012历年真题及答案版

123421.计算4阶行列式D=

234134124123.

?101?2??22.设A=020,而X满足AX+E=A+X,求X.

????161???1??2??5??3???2??1??0???1?????????23.求向量组:?1??3?,?2??2?,?3??7?,?4??5?的秩,并给出该向量组的一个

?????????1?2?5????????3??????2????3????4????1??极大无关组,同时将其余的向量表示成该极大无关组的线性组合.

?x1?2x2?2x3?0?24.当?为何值时,齐次方程组?2x1?x2??x3?0有非零解?并求其全部非零解.

?3x?x?x?0?12325.已知1,1,-1是三阶实对称矩阵A的三个特征值,向量?1?(1,1,1)T、?2?(2,2,1)T是

A的对应于?1??2?1的特征向量,求A的属于?3??1的特征向量.

26.求正交变换Y=PX,化二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-2x2x3为标准形. 四、证明题(本大题6分)

27.设?1,?2,?3线性无关,证明?1,?1?2?2,?1?3?3也线性无关.

全国2011年4月高等教育自学考试

T*

说明:A表示矩阵A的转置矩阵,A表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式. 一、单项选择题 1.下列等式中,正确的是( ) A. C.5

2.下列矩阵中,是初等矩阵的为( ) A. C.

-1

B.3= D.

B. D.

3.设A、B均为n阶可逆矩阵,且C=,则C是( )

11

A. C.

B. D.

*

*

4.设A为3阶矩阵,A的秩r (A)=3,则矩阵A的秩r (A)=( ) A.0 C.2

5.设向量,若有常数a,b使,则( ) A.a=-1, b=-2

B.a=-1, b=2 B.1 D.3

C.a=1, b=-2 D.a=1, b=2 6.向量组的极大线性无关组为( ) A. B. C. D.

7.设矩阵A=,那么矩阵A的列向量组的秩为( ) A.3 B.2 C.1 D.0

8.设是可逆矩阵A的一个特征值,则矩阵有一个特征值等于( ) A. B. C. D.

9.设矩阵A=,则A的对应于特征值的特征向量为( )

TT

A.(0,0,0) B.(0,2,-1)

TT

C.(1,0,-1) D.(0,1,1)

210.二次型f(x1,x2,x3)?2x12?x1x2?x2的矩阵为( )

A. B. C. D.

二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.行列式__________.

301341001012.行列式

150?1中第4行各元素的代数余子式之和为__________.

?2213.设矩阵A=,B=(1,2,3),则BA=__________. 14.设3阶方阵A的行列式|A|=

13

,则|A|=__________. 2-1

-1

2

2

15.设A,B为n阶方阵,且AB=E,AB=BA=E,则A+B=__________. 16.已知3维向量=(1,-3,3),(1,0,-1)则+3=__________. 17.设向量=(1,2,3,4),则的单位化向量为__________.

18.设n阶矩阵A的各行元素之和均为0,且A的秩为n-1,则齐次线性方程组Ax=0的通解

为__________. 111-1

19.设3阶矩阵A与B相似,若A的特征值为,,,则行列式|B|=__________.

234

12

20.设A=是正定矩阵,则a的取值范围为__________. 三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分) 21.已知矩阵A=,B=,

T

求:(1)AB;

T

(2)|AB|.

22.设A=,B=,C=,且满足AXB=C,求矩阵X.

TTT

23.求向量组=(1, 2, 1, 0),=(1, 1, 1, 2),=(3, 4, 3, 4),=(4, 5, 6, 4)

T

的秩与一个极大线性无关组. ?x1?x2?3x3?x4?1?24.判断线性方程组?2x1?x2?x3?4x4?2是否有解,有解时求出它的解.

?x?4x?5x??134?1

T

25.已知2阶矩阵A的特征值为=1,=9,对应的特征向量依次为=(-1,1),

T

=(7,1),求矩阵A.

26.已知矩阵A相似于对角矩阵Λ=,求行列式|A-E|的值. 四、证明题(本大题共6分)

27.设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵.证明: (1)AB-BA为对称矩阵; (2)AB+BA为反对称矩阵.

全国2011年1月高等教育自学考试

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