123421．计算4阶行列式D=
234134124123.
?101?2??22．设A=020，而X满足AX+E=A+X，求X.
????161???1??2??5??3???2??1??0???1?????????23．求向量组：?1??3?,?2??2?,?3??7?,?4??5?的秩，并给出该向量组的一个
?????????1?2?5????????3??????2????3????4????1??极大无关组，同时将其余的向量表示成该极大无关组的线性组合.
?x1?2x2?2x3?0?24．当?为何值时，齐次方程组?2x1?x2??x3?0有非零解？并求其全部非零解.
?3x?x?x?0?12325．已知1,1,-1是三阶实对称矩阵A的三个特征值，向量?1?(1,1,1)T、?2?(2,2,1)T是
A的对应于?1??2?1的特征向量，求A的属于?3??1的特征向量.
26．求正交变换Y=PX，化二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-2x2x3为标准形. 四、证明题（本大题6分）
27．设?1，?2，?3线性无关，证明?1，?1?2?2，?1?3?3也线性无关.
全国2011年4月高等教育自学考试
T*
说明：A表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式. 一、单项选择题 1．下列等式中，正确的是（ ） A． C．5
2．下列矩阵中，是初等矩阵的为（ ） A． C．
-1
B．3= D．
B． D．
3．设A、B均为n阶可逆矩阵，且C=，则C是（ ）
11
A． C．
B． D．
*
*
4．设A为3阶矩阵，A的秩r (A)=3，则矩阵A的秩r (A)=（ ） A．0 C．2
5．设向量，若有常数a,b使，则（ ） A．a=-1, b=-2
B．a=-1, b=2 B．1 D．3
C．a=1, b=-2 D．a=1, b=2 6．向量组的极大线性无关组为（ ） A． B． C． D．
7．设矩阵A=，那么矩阵A的列向量组的秩为（ ） A．3 B．2 C．1 D．0
8．设是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于（ ） A． B． C． D．
9．设矩阵A=，则A的对应于特征值的特征向量为（ ）
TT
A．（0，0，0） B．（0，2，-1）
TT
C．（1，0，-1） D．（0，1，1）
210．二次型f(x1,x2,x3)?2x12?x1x2?x2的矩阵为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11．行列式__________.
301341001012．行列式
150?1中第4行各元素的代数余子式之和为__________.
?2213．设矩阵A=，B=（1，2，3），则BA=__________. 14．设3阶方阵A的行列式|A|=
13
，则|A|=__________. 2-1
-1
2
2
15．设A，B为n阶方阵，且AB=E，AB=BA=E，则A+B=__________. 16．已知3维向量=（1，-3，3），（1，0，-1）则+3=__________. 17．设向量=（1，2，3，4），则的单位化向量为__________.
18．设n阶矩阵A的各行元素之和均为0，且A的秩为n-1，则齐次线性方程组Ax=0的通解
为__________. 111-1
19．设3阶矩阵A与B相似，若A的特征值为,,，则行列式|B|=__________.
234
12
20．设A=是正定矩阵，则a的取值范围为__________. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 21．已知矩阵A=，B=，
T
求：（1）AB；
T
（2）|AB|.
22．设A=，B=，C=，且满足AXB=C，求矩阵X.
TTT
23．求向量组=（1, 2, 1, 0），=（1, 1, 1, 2），=（3, 4, 3, 4），=（4, 5, 6, 4）
T
的秩与一个极大线性无关组. ?x1?x2?3x3?x4?1?24．判断线性方程组?2x1?x2?x3?4x4?2是否有解，有解时求出它的解.
?x?4x?5x??134?1
T
25．已知2阶矩阵A的特征值为=1，=9，对应的特征向量依次为=（-1，1），
T
=（7，1），求矩阵A.
26．已知矩阵A相似于对角矩阵Λ=，求行列式|A-E|的值. 四、证明题（本大题共6分）
27．设A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵.证明： （1）AB-BA为对称矩阵； （2）AB+BA为反对称矩阵.
全国2011年1月高等教育自学考试
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