自学考试 - 04184-线性代数(经管类) - 2007-2012历年真题及答案版

T?20?20.设矩阵A=??01?,则二次型xAx的规范形是__________.

??

三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分) 1234101221.计算行列式D=的值.

3?1?10120?514??20??31?22.已知A=???12?,B=??11?,C=?0?1?,矩阵X满足AXB=C,求解X.

??????23.求向量β=(3,-1,2)在基α1=(1,1,2),α2=(-1,3,1),α3=(1,1,1)下

的坐标,并将β用此基线性表示.

24.设向量组α1,α2,α3线性无关,令β1=-α1+α3,β2=2α2-2α3,β3=2α1-5α2+3α3.试

确定向量组β1,β2,β3的线性相关性. ?x1?x2??x3??2?25.已知线性方程组?x1??x2?x3??2,

??x?x?x???33?12TTTT

(1)讨论λ为何值时,方程组无解、有惟一解、有无穷多个解.

(2)在方程组有无穷多个解时,求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础

解系表示).

?111?-1

26.已知矩阵A=?111?,求正交矩阵P和对角矩阵Λ,使PAP=Λ.

?111???

四、证明题(本题6分)

27.设η为非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ1,ξ2,…,ξr是其导出组Ax=0的一个基

础解系.证明η,ξ1,ξ2,…,ξr线性无关. 全国2008年7月高等教育自学考试

1.设3阶方阵A=[?1,?2,?3],其中?i(i=1, 2, 3)为A的列向量,且|A|=2,则|B|=|[?1?3?2,?2,?3]|=( ) A.-2

C.2

B.0 D.6

?x?x2?02.若方程组?1有非零解,则k=( )

kx?x?02?1A.-1

C.1 B.0 D.2

41

3.设A,B为同阶可逆方阵,则下列等式中错误的是( ) ..A.|AB|=|A| |B|

-1-1-1

C. (A+B)=A+B

-1

B. (AB)=BA

TTT

D. (AB)=BA

-1-1-1

4.设A为三阶矩阵,且|A|=2,则|(A*)|=( ) 1A. B.1 4C.2

D.4

5.已知向量组A:?1,?2,?3,?4中?2,?3,?4线性相关,那么( ) A. ?1,?2,?3,?4线性无关 C. ?1可由?2,?3,?4线性表示

B. ?1,?2,?3,?4线性相关 D. ?3,?4线性无关

6.向量组?1,?2,??s的秩为r,且r

B. ?1,?2,??s中任意r个向量线性无关 C. ?1,?2,??s中任意r+1个向量线性相关 D. ?1,?2,??s中任意r-1个向量线性无关 7.若A与B相似,则( ) A.A,B都和同一对角矩阵相似 C.A-λE=B-λE

B.A,B有相同的特征向量 D.|A|=|B|

8.设?1,?2是Ax=b的解,η是对应齐次方程Ax=0的解,则( ) A. η+?1是Ax=0的解 C. ?1+?2是Ax=b的解

B. η+(?1-?2)是Ax=0的解 D. ?1-?2是Ax=b的解

9.下列向量中与?=(1,1,-1)正交的向量是( ) A. ?1=(1,1,1) C. ?3=(1,-1,1)

B. ?2=(-1,1,1) D. ?4=(0,1,1)

??11?T

10.设A=?,则二次型f(x1,x2)=xAx是( ) ??1?2?A.正定 B.负定 C.半正定 D.不定

二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)

42

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.设A为三阶方阵且|A|=3,则|2A|=___________.

T

12.已知?=(1,2,3),则|??|=___________. ?120?*?13.设A=??030?,则A=___________.

??002??14.设A为4×5的矩阵,且秩(A)=2,则齐次方程Ax=0的基础解系所含向量的个数是

___________.

15.设有向量?1=(1,0,-2),?2=(3,0,7),(2,0,6). 则?1,?2,?3的秩是___________. ?3=16.方程x1+x2-x3=1的通解是___________.

2-1

17.设A满足3E+A-A=0,则A=___________.

18.设三阶方阵A的三个特征值为1,2,3. 则|A+E|=___________.

19. 设α与β的内积(α,β)=2,‖β‖=2,则内积(2α+β,-β)=___________. ?3?11??所对应的二次型是___________. 20.矩阵A=??102???22??1?三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)

120000300000001002000100000010002001?25??12??21?22.已知A=?,B=,C=??4?3??5?2?,X满足AX+B=C,求X. 13??????21.计算6阶行列式

23.求向量组?1=(1,2,1,3),?2=(4,-1,-5,-6),?3=(1,-3,-4,-7)的秩和其一个极大线性无关组.

x3?1?x1?x2??24.当a, b为何值时,方程组? 有无穷多解?并求出其通解. x2?x3?1?2x?3x?(a?2)x?b?323?1?3?1?25.已知A=??,求其特征值与特征向量. 711???2?1?n26.设A=?,求A. ???12?四、证明题(本大题共1小题,6分)

43

27.设?为Ax=0的非零解,?为Ax=b(b?0)的解,证明?与?线性无关. 全国2008年4月高等教育自学考试

a11a12a22a32a13a115a11?2a12a13a23,则D1的值为( ) a331.设行列式D=a21a31A.-15 C.6

a23=3,D1=a215a21?2a22a33a315a31?2a32B.-6 D.15

?a?b4??2a?b???2.设矩阵??0?=??c?,则( ) d3????A.a=3,b=-1,c=1,d=3

C.a=3,b=-1,c=0,d=3 B.a=-1,b=3,c=1,d=3 D.a=-1,b=3,c=0,d=3

110) 1??1? 0??3.设3阶方阵A的秩为2,则与A等价的矩阵为(

?111??1???A.?000? B.?0?000??0???

?111???C.?222?

?000????111???D.?222?

?333???4.设A为n阶方阵,n≥2,则?5A=( ) A.(-5)AC.5A n

B.-5An

D.5A

?12??=

?A5.设A=?,则( ) ?34???A.-4

C.2 B.-2 D.4

6.向量组α1,α2,…αs,(s>2)线性无关的充分必要条件是( ) A.α1,α2,…,αs均不为零向量

B.α1,α2,…,αs中任意两个向量不成比例 C.α1,α2,…,αs中任意s-1个向量线性无关

D.α1,α2,…,αs中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示

7.设3元线性方程组Ax=b,A的秩为2,?1,?2,?3为方程组的解,?1+?2=(2,0,4),

T

?1+?3=(1,-2,1),则对任意常数k,方程组Ax=b的通解为( )

A.(1,0,2)+k(1,-2,1)

TT

T

T

B.(1,-2,1)+k(2,0,4) D.(1,0,2)+k(1,2,3)

44

T

T

TT

C.(2,0,4)+k(1,-2,1)

T

8.设3阶方阵A的特征值为1,-1,2,则下列矩阵中为可逆矩阵的是( ) A.E-A B.-E-A C.2E-A D.-2E-A 9.设?=2是可逆矩阵A的一个特征值,则矩阵(A)必有一个特征值等于( )

11A. B.

42C.2 D.4

22210.二次型f(x1,x2,x3,x4)=x1+x22+x3+x4+2x3x4的秩为( )

2

-1

A.1 C.3 B.2 D.4

二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

a1b1a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3=____________. a3b311.行列式a2b1a3b1?12??11?T

???12.设矩阵A=?,P=,则AP=____________. ?34??01??????001???-1

13.设矩阵A=?011?,则A=____________.

?111????122???14.设矩阵A=?2t3?,若齐次线性方程组Ax=0有非零解,则数t=____________.

?345????1??1??t???????15.已知向量组α1=?1?,α2=??2?,α3=?1?的秩为2,则数t=______________.

??2??1??1???????16.已知向量α=(2,1,0,3),β=(1,-2,1,k),α与β的内积为2,则数k=____________. 11T

17.设向量α=(b,,)为单位向量,则数b=______________.

22?0?2?2???18.已知?=0为矩阵A=?2则A的另一特征值为______________. 2?2?的2重特征值,

??2?22???2219.二次型f(x1,x2,x3)=x1+2x22-5x3-4x1x2+2x2x3的矩阵为______________.

2220.已知二次型f(x1,x2,x3)=(k+1)x1+(k-1)x22+(k-2)x3正定,则数k的取值范围为

TT

45

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@) 苏ICP备20003344号-4