T?20?20．设矩阵A=??01?，则二次型xAx的规范形是__________.
??
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 1234101221．计算行列式D=的值.
3?1?10120?514??20??31?22．已知A=???12?，B=??11?，C=?0?1?，矩阵X满足AXB=C，求解X.
??????23．求向量β=（3，-1，2）在基α1=（1，1，2），α2=（-1，3，1），α3=（1，1，1）下
的坐标，并将β用此基线性表示.
24．设向量组α1,α2,α3线性无关，令β1=-α1+α3，β2=2α2-2α3，β3=2α1-5α2+3α3.试
确定向量组β1，β2，β3的线性相关性. ?x1?x2??x3??2?25．已知线性方程组?x1??x2?x3??2，
??x?x?x???33?12TTTT
（1）讨论λ为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解.
（2）在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础
解系表示）.
?111?-1
26．已知矩阵A=?111?，求正交矩阵P和对角矩阵Λ，使PAP=Λ.
?111???
四、证明题（本题6分）
27．设η为非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，ξ2，…，ξr是其导出组Ax=0的一个基
础解系.证明η，ξ1，ξ2，…，ξr线性无关. 全国2008年7月高等教育自学考试
1.设3阶方阵A=[?1,?2,?3]，其中?i（i=1, 2, 3）为A的列向量，且|A|=2，则|B|=|[?1?3?2,?2,?3]|=（ ） A.-2
C.2
B.0 D.6
?x?x2?02.若方程组?1有非零解，则k=（ ）
kx?x?02?1A.-1
C.1 B.0 D.2
41
3.设A，B为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是（ ） ．．A.|AB|=|A| |B|
-1-1-1
C. (A+B)=A+B
-1
B. (AB)=BA
TTT
D. (AB)=BA
-1-1-1
4.设A为三阶矩阵，且|A|=2，则|（A*）|=（ ） 1A. B.1 4C.2
D.4
5.已知向量组A：?1,?2,?3,?4中?2,?3,?4线性相关，那么（ ） A. ?1,?2,?3,?4线性无关 C. ?1可由?2,?3,?4线性表示
B. ?1,?2,?3,?4线性相关 D. ?3,?4线性无关
6.向量组?1,?2,??s的秩为r，且r B. ?1,?2,??s中任意r个向量线性无关 C. ?1,?2,??s中任意r+1个向量线性相关 D. ?1,?2,??s中任意r-1个向量线性无关 7.若A与B相似，则（ ） A.A，B都和同一对角矩阵相似 C.A-λE=B-λE B.A，B有相同的特征向量 D.|A|=|B| 8.设?1，?2是Ax=b的解，η是对应齐次方程Ax=0的解，则（ ） A. η+?1是Ax=0的解 C. ?1+?2是Ax=b的解 B. η+（?1-?2）是Ax=0的解 D. ?1-?2是Ax=b的解 9.下列向量中与?=（1，1，-1）正交的向量是（ ） A. ?1=（1，1，1） C. ?3=（1，-1，1） B. ?2=（-1，1，1） D. ?4=（0，1，1） ??11?T 10.设A=?，则二次型f(x1，x2)=xAx是（ ） ??1?2?A.正定 B.负定 C.半正定 D.不定 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 42 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.设A为三阶方阵且|A|=3，则|2A|=___________. T 12.已知?=（1，2，3），则|??|=___________. ?120?*?13.设A=??030?，则A=___________. ??002??14.设A为4×5的矩阵，且秩（A）=2，则齐次方程Ax=0的基础解系所含向量的个数是 ___________. 15.设有向量?1=（1，0，-2），?2=（3，0，7），（2，0，6）. 则?1,?2,?3的秩是___________. ?3=16.方程x1+x2-x3=1的通解是___________. 2-1 17.设A满足3E+A-A=0，则A=___________. 18.设三阶方阵A的三个特征值为1，2，3. 则|A+E|=___________. 19. 设α与β的内积（α，β）=2，‖β‖=2，则内积（2α+β，-β）=___________. ?3?11??所对应的二次型是___________. 20.矩阵A=??102???22??1?三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 120000300000001002000100000010002001?25??12??21?22．已知A=?，B=，C=??4?3??5?2?，X满足AX+B=C，求X. 13??????21．计算6阶行列式 23．求向量组?1=（1，2，1，3），?2=（4，-1，-5，-6），?3=（1，-3，-4，-7）的秩和其一个极大线性无关组. x3?1?x1?x2??24．当a, b为何值时，方程组? 有无穷多解？并求出其通解. x2?x3?1?2x?3x?(a?2)x?b?323?1?3?1?25．已知A=??，求其特征值与特征向量. 711???2?1?n26.设A=?，求A. ???12?四、证明题（本大题共1小题，6分） 43 27．设?为Ax=0的非零解，?为Ax=b(b?0)的解，证明?与?线性无关. 全国2008年4月高等教育自学考试 a11a12a22a32a13a115a11?2a12a13a23，则D1的值为（ ） a331．设行列式D=a21a31A．-15 C．6 a23=3，D1=a215a21?2a22a33a315a31?2a32B．-6 D．15 ?a?b4??2a?b???2．设矩阵??0?=??c?，则（ ） d3????A．a=3,b=-1,c=1,d=3 C．a=3,b=-1,c=0,d=3 B．a=-1,b=3,c=1,d=3 D．a=-1,b=3,c=0,d=3 110） 1??1? 0??3．设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（ ?111??1???A．?000? B．?0?000??0??? ?111???C．?222? ?000????111???D．?222? ?333???4．设A为n阶方阵，n≥2，则?5A=（ ） A．（-5）AC．5A n B．-5An D．5A ?12??= ?A5．设A=?，则（ ） ?34???A．-4 C．2 B．-2 D．4 6．向量组α1，α2，…αs，(s＞2)线性无关的充分必要条件是（ ） A．α1，α2，…，αs均不为零向量 B．α1，α2，…，αs中任意两个向量不成比例 C．α1，α2，…，αs中任意s-1个向量线性无关 D．α1，α2，…，αs中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示 7.设3元线性方程组Ax=b,A的秩为2，?1，?2，?3为方程组的解，?1+?2=（2，0，4）， T ?1+?3=（1，-2，1），则对任意常数k，方程组Ax=b的通解为（ ） A．(1,0,2)+k(1,-2,1) TT T T B．(1,-2,1)+k(2,0,4) D．(1,0,2)+k(1,2,3) 44 T T TT C．(2,0,4)+k(1,-2,1) T 8．设3阶方阵A的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（ ） A．E-A B．-E-A C．2E-A D．-2E-A 9．设?=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵（A）必有一个特征值等于（ ） 11A． B． 42C．2 D．4 22210．二次型f(x1,x2,x3,x4)=x1+x22+x3+x4+2x3x4的秩为（ ） 2 -1 A．1 C．3 B．2 D．4 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 a1b1a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3=____________. a3b311.行列式a2b1a3b1?12??11?T ???12.设矩阵A=?，P=，则AP=____________. ?34??01??????001???-1 13.设矩阵A=?011?，则A=____________. ?111????122???14.设矩阵A=?2t3?，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则数t=____________. ?345????1??1??t???????15.已知向量组α1=?1?，α2=??2?,α3=?1?的秩为2，则数t=______________. ??2??1??1???????16.已知向量α=（2，1，0，3），β=（1，-2，1，k），α与β的内积为2，则数k=____________. 11T 17.设向量α=（b,,）为单位向量，则数b=______________. 22?0?2?2???18.已知?=0为矩阵A=?2则A的另一特征值为______________. 2?2?的2重特征值， ??2?22???2219.二次型f(x1,x2,x3)=x1+2x22-5x3-4x1x2+2x2x3的矩阵为______________. 2220.已知二次型f(x1，x2，x3)=(k+1)x1+(k-1)x22+(k-2)x3正定，则数k的取值范围为 TT 45