2020版高考数学大一轮复习-第3讲导数与函数的极值、最值分层演练(文)

第3讲 导数与函数的极值、最值

1.函数y=x在[0,2]上的最大值是( )

e1

A. eC.0

2B.2 e1D. 2e

x1-x解析:选A.易知y′=x,x∈[0,2],令y′>0,得0≤x<1,令y′<0,得2≥x>1,

e所以函数y=x在[0,1]上单调递增,在(1,2]上单调递减,所以y=x在[0,2]上的最大值

ee1

是y|x=1=,故选A.

e

2.已知a为函数f(x)=x-12x的极小值点,则a=( ) A.-4 C.4

2

3

xxB.-2 D.2

解析:选D.由题意得f′(x)=3x-12,由f′(x)=0得x=±2,当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈(-2,2)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,所以a=2.

3.函数f(x)=x+bx+cx+d的大致图象如图所示,则x1+x2等于( )

3

2

2

2

8A. 916C. 9

10B.

928D.

9

解析:选C.函数f(x)的图象过原点,所以d=0.又f(-1)=0且f(2)=0,即-1+b-c=0且8+4b+2c=0,解得b=-1,c=-2,所以函数f(x)=x-x-2x,所以f′(x)=3x-2x-2,由题意知x1,x2是函数的极值点,所以x1,x2是f′(x)=0的两个根,所以

22

x1+x2=,x1x2=-,所以x2. 1+x2=(x1+x2)-2x1x2=+=2

3

2

2

3234416939

4.已知函数f(x)=x+3x-9x+1,若f(x)在区间[k,2]上的最大值为28,则实数k的取值范围为( )

32

1

A.[-3,+∞) C.(-∞,-3)

2

B.(-3,+∞) D.(-∞,-3]

解析:选D.由题意知f′(x)=3x+6x-9,令f′(x)=0,解得x=1或x=-3,所以

f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:

x f′(x) f(x) (-∞,-3) + -3 0 极大值 (-3,1) - 1 0 极小值 (1,+∞) + 又f(-3)=28,f(1)=-4,f(2)=3,f(x)在区间[k,2]上的最大值为28,所以k≤-3.

5.若函数f(x)=x-3ax在区间(-1,2)上仅有一个极值点,则实数a的取值范围为( )

A.(1,4] C.[1,4)

2

3

B.[2,4] D.[1,2]

解析:选C.因为f′(x)=3(x-a),所以当a≤0时,f′(x)≥0在R上恒成立,所以

f(x)在R上单调递增,f(x)没有极值点,不符合题意;当a>0时,令f′(x)=0得x=±a,

当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表所示:

x f′(x) f(x) (-∞,-a) + -a 0 极大值 (-a,a) - a 0 极小值 (a,+∞) + ?a<2,?-a>-1,

因为函数f(x)在区间(-1,2)上仅有一个极值点,所以?或?解

?-a≤-1?2≤a,

得1≤a<4.选C.

6.f(x)=x-3x+2在区间[-1,1]上的最大值是________. 解析:f′(x)=3x-6x=3x(x-2), 令f′(x)=0得x=0或x=2(舍), 当-10; 当0

所以当x=0时,函数取得极大值即最大值, 所以f(x)的最大值为2. 答案:2

7.已知函数y=f(x)=x+3ax+3bx+c在x=2处有极值,其图象在x=1处的切线平行于直线6x+2y+5=0,则f(x)的极大值与极小值之差为________.

2

3

2

2

3

2

??3×2+6a×2+3b=0,??a=-1,2

?解析:因为y′=3x+6ax+3b,?? 2

?3×1+6a+3b=-3?b=0.??

2

所以y′=3x-6x,令3x-6x=0,则x=0或x=2. 所以f(x)极大值-f(x)极小值=f(0)-f(2)=4. 答案:4

8.若函数f(x)=xln x-x-x+1(a>0)有两个极值点,则a的取值范围为________.

22

a2

2解析:因为f(x)=xln x-a2

2x-x+1(x>0),

所以f′(x)=ln x-ax,f″(x)=1

x-a=0,

得一阶导函数有极大值点x=1

a,

由于x→0时f′(x)→-∞;当x→+∞时,f′(x)→-∞, 因此原函数要有两个极值点, 只要f′??1?a??11?

=lna-1>0,解得0

9.已知函数f(x)=ax2

-bln x在点A(1,f(1))处的切线方程为y=1. (1)求实数a,b的值; (2)求函数f(x)的极值.

解:(1)f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=2ax-bx,

f(1)=a=1,f′(1)=2a-b=0,

将a=1代入2a-b=0,解得b=2. (2)由(1)得f(x)=x2

-2ln x(x>0), 2

所以f′(x)=2x-2x=2x-2

x,

令f′(x)>0,解得x>1,令f′(x)<0,解得0

(1)若函数f(x)在区间(a,a+1

2

)上存在极值,求正实数a的取值范围;

3

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