第3讲 导数与函数的极值、最值
1．函数y＝x在[0，2]上的最大值是( )
e1
A． eC．0
2B．2 e1D． 2e
x1－x解析：选A．易知y′＝x，x∈[0，2]，令y′>0，得0≤x<1，令y′<0，得2≥x>1，
e所以函数y＝x在[0，1]上单调递增，在(1，2]上单调递减，所以y＝x在[0，2]上的最大值
ee1
是y|x＝1＝，故选A．
e
2．已知a为函数f(x)＝x－12x的极小值点，则a＝( ) A．－4 C．4
2
3
xxB．－2 D．2
解析：选D.由题意得f′(x)＝3x－12，由f′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(－2，2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以a＝2.
3．函数f(x)＝x＋bx＋cx＋d的大致图象如图所示，则x1＋x2等于( )
3
2
2
2
8A． 916C． 9
10B．
928D．
9
解析：选C．函数f(x)的图象过原点，所以d＝0.又f(－1)＝0且f(2)＝0，即－1＋b－c＝0且8＋4b＋2c＝0，解得b＝－1，c＝－2，所以函数f(x)＝x－x－2x，所以f′(x)＝3x－2x－2，由题意知x1，x2是函数的极值点，所以x1，x2是f′(x)＝0的两个根，所以
22
x1＋x2＝，x1x2＝－，所以x2. 1＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2＝＋＝2
3
2
2
3234416939
4．已知函数f(x)＝x＋3x－9x＋1，若f(x)在区间[k，2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为( )
32
1
A．[－3，＋∞) C．(－∞，－3)
2
B．(－3，＋∞) D．(－∞，－3]
解析：选D.由题意知f′(x)＝3x＋6x－9，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，所以
f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x f′(x) f(x) (－∞，－3) ＋ －3 0 极大值 (－3，1) － 1 0 极小值 (1，＋∞) ＋ 又f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在区间[k，2]上的最大值为28，所以k≤－3.
5．若函数f(x)＝x－3ax在区间(－1，2)上仅有一个极值点，则实数a的取值范围为( )
A．(1，4] C．[1，4)
2
3
B．[2，4] D．[1，2]
解析：选C．因为f′(x)＝3(x－a)，所以当a≤0时，f′(x)≥0在R上恒成立，所以
f(x)在R上单调递增，f(x)没有极值点，不符合题意；当a>0时，令f′(x)＝0得x＝±a，
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表所示：
x f′(x) f(x) (－∞，－a) ＋ －a 0 极大值 (－a，a) － a 0 极小值 (a，＋∞) ＋ ?a<2，?－a>－1，
因为函数f(x)在区间(－1，2)上仅有一个极值点，所以?或?解
?－a≤－1?2≤a，
得1≤a<4.选C．
6．f(x)＝x－3x＋2在区间[－1，1]上的最大值是________． 解析：f′(x)＝3x－6x＝3x(x－2)， 令f′(x)＝0得x＝0或x＝2(舍)， 当－1 所以当x＝0时，函数取得极大值即最大值， 所以f(x)的最大值为2. 答案：2 7．已知函数y＝f(x)＝x＋3ax＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)的极大值与极小值之差为________． 2 3 2 2 3 2 ??3×2＋6a×2＋3b＝0，??a＝－1，2 ?解析：因为y′＝3x＋6ax＋3b，?? 2 ?3×1＋6a＋3b＝－3?b＝0.?? 2 所以y′＝3x－6x，令3x－6x＝0，则x＝0或x＝2. 所以f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4. 答案：4 8．若函数f(x)＝xln x－x－x＋1(a＞0)有两个极值点，则a的取值范围为________． 22 a2 2解析：因为f(x)＝xln x－a2 2x－x＋1(x>0)， 所以f′(x)＝ln x－ax，f″(x)＝1 x－a＝0， 得一阶导函数有极大值点x＝1 a， 由于x→0时f′(x)→－∞；当x→＋∞时，f′(x)→－∞， 因此原函数要有两个极值点， 只要f′??1?a??11? ＝lna－1>0，解得0 9．已知函数f(x)＝ax2 －bln x在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝1. (1)求实数a，b的值； (2)求函数f(x)的极值． 解：(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2ax－bx， f(1)＝a＝1，f′(1)＝2a－b＝0， 将a＝1代入2a－b＝0，解得b＝2. (2)由(1)得f(x)＝x2 －2ln x(x>0)， 2 所以f′(x)＝2x－2x＝2x－2 x， 令f′(x)>0，解得x>1，令f′(x)<0，解得0 (1)若函数f(x)在区间(a，a＋1 2 )上存在极值，求正实数a的取值范围； 3