数学试卷
2019年中考数学专题讲座二：新概念型问题
一、中考专题诠释
所谓“新概念”型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型.“新概念”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力 二、解题策略和解法精讲
“新概念型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移． 三、中考典例剖析
考点一：规律题型中的新概念
例1 （2019?永州）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是 ． 思路分析：由于3-1=2，7-3=4，13-7=6，…，由此得出相邻两数之差依次大2，故13的后一个数比13大8． 解答：解：由数字规律可知，第四个数13，设第五个数为x， 则x-13=8，解得x=21，即第五个数为21， 故答案为：21． 点评：本题考查了数字变化规律类问题．关键是确定二阶等差数列的公差为2． 对应训练 1．（2019?自贡）若x是不等于1的实数，我们把 1称为x的差倒数，如2的差倒数是 1?x1111=-1，-1的差倒数为 = ，现已知x1=- ，x2是x1的差倒数，x3是x2的差1?(?1)21?23数学试卷
倒数，x4是x3的差倒数，…，依次类推，则x2019= ． 考点二：运算题型中的新概念
例2 （2019?菏泽）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成ab，cdx?11?xab概念=ad-bc，上述记号就叫做2阶行列式．若=8，则x= ． 1?xx?1cd思路分析：根据题中的新概念将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为x的值． 解：根据题意化简2x?11?x1?xx?12=8，得：（x+1）-（1-x）=8， 22整理得：x+2x+1-（1-2x+x）-8=0，即4x=8， 解得：x=2． 故答案为：2 点评：此题考查了整式的混合运算，属于新概念的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键． 对应训练 2．（2019?株洲）若（x1，y1）?（x2，y2）=x1x2+y1y2，则（4，5）?（6，8）= ． 考点三：探索题型中的新概念
例3 （2019?南京）如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合）、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角． （1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角， ①若AB是⊙O的直径，则∠APB= °； ②若⊙O的半径是1，AB=
，求∠APB的度数；
（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．
数学试卷
思路分析： （1）①根据直径所对的圆周角等于90°即可求解； ②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分点P在优弧况讨论求解；
（2）根据点P在⊙O1上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．
解：（1）①若AB是⊙O的直径，则∠APB=90．
上；点P在劣弧
上两种情
②如图，连接AB、OA、OB． 在△AOB中， ∵OA=OB=1．AB=∴OA+OB=AB． ∴∠AOB=90°． 当点P在优弧当点P在劣弧
（2）根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况．
第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图① ∵∠MAN=∠APB+∠ANB， ∴∠APB=∠MAN﹣∠ANB；
第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图②． ∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°﹣∠ANB）， ∴∠APB=∠MAN+∠ANB﹣180°；
第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图③． ∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°， ∴∠APB=180°﹣∠MAN﹣∠ANB， 第四种情况：点P在⊙O2内，如图④， ∠APB=∠MAN+∠ANB．
上时，∠AP1B=∠AOB=45°；
上时，∠AP2B=（360°﹣∠AOB）=135°…6分
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