3.1 3.2 柯西不等式
1.二元均值不等式有哪几种形式？
a?b?ab(a?0,b?0)及几种变式. 22.已知a、b、c、d为实数，求证(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2
答案：
证法：（比较法）(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2=….=(ad?bc)2?0
定理：若a、b、c、d为实数，则(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2.
变式：a2?b2?c2?d2?|ac?bd| 或 a2?b2?c2?d2?|ac|?|bd| 或a2?b2?c2?d2?ac?bd.
定理：设a1,a2,?,an,b1,b2,?,bn?R，则
(a12?a22??an2)(b12?b22???bn2)?(a1b1?a2b2??anbn)2
aaa（当且仅当1?2???n时取等号，假设bi?0）
b1b2bn
变式：a12?a22??an2?(a1?a2?????an)2.
????????????定理：设?,?是两个向量，则|???|?|?||?|.
??????等号成立？（?是零向量，或者?,?共线）
练习：已知a、b、c、d为实数，求证a2?b2?c2?d2?(a?c)2?(b?d)2. 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 三角不等式：
① 定理：设x1,y1,x2,y2?R，则x12?y12?x22?y22?(x1?x2)2?(y1?y2)2. 变式：若x1,y1,x2,y2,x3,y3?R，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？
例1：求函数y?3x?1?10?2x的最大值？
分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式
变式：y?3x?1?10?2x → 推广：y?abx?c?de?fx,(a,b,c,d,e,f?R?)
1n11??2. xy分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）
1111111212)?()]?… 要点：??(x?y)(?)?[(x)2?(y)2][(xy2xy2xy例2：若x,y?R?，x?y?2，求证： 讨论：其它证法（利用基本不等式）
练习：已知3x?2y?1，求x2?y2的最小值. 解答要点：（凑配法）x2?y2?讨论：其它方法 （数形结合法）
练习：已知a、b?R?，求证：(a?b)(?)?4.
例1：已知3x?2y?z?1，求x2?y2?z2的最小值.
111yz练习：若x,y,z?R?，且???1，求x??的最小值.
xyz23
变式：若x,y,z?R?，且x?y?z?1，求x2?y2?z2的最小值.
变式：若x,y,z?R?，且x?y?z?1，求x?y?z的最大值.
1211(x?y2)(32?22)?(3x?2y)2?. 1313131a1b例2：若a>b>c，求证： 要点：(a?c)(
114??. a?bb?ca?c1111?)?[(a?b)?(b?c)](?)?(1?1)2?4 a?bb?ca?bb?ca2?b2?c2例3已知正数a,b,c满足a?b?c?1 证明 a?b?c?
3333证明：利用柯西不等式a?b?c?2222?13131?3???a2a2?b2b2?c2c2? ??2??3?2?3?2?3?2?2???a2???b2???c2???a?b?c? ??a3?b3?c3??a?b?c? ??a?b?c?1? ??????????又因为 a?b?c?ab?bc?ca 在此不等式两边同乘以2，再加上a?b?c得：
222222?a?b?c??3?a2?b2?c2?
??a?b?c2222?a2?b2?c2??a?b?c??3?a?b?c?故a?b?c?
3333222333例4 设p是?ABC内的一点，x,y,z是p到三边a,b,c的距离，R是?ABC外接圆的半径，
证明x?y?z?1a2?b2?c2 2R证明：由柯西不等式得，
x?y?z?ax111111?by?cz?ax?by?cz??? abcabcabcabc? 4R2R记S为?ABC的面积，则ax?by?cz?2S?2?x?y?z?故不等式成立。
1abcab?bc?ca1a2?b2?c2 ?ab?bc?ca?2Rabc2R2R