第七章 季节性时间序列分析方法
由于季节性时间序列在经济生活中大量存在，故将季节时间序列从非平稳序列中抽出来，单独作为一章加以研究，具有较强的现实意义。本章共分四节：简单随机时间序列模型、乘积季节模型、季节型时间序列模型的建立、季节调整方法X-11程序。
本章的学习重点是季节模型的一般形式和建模。
§1 简单随机时序模型
在许多实际问题中，经济时间序列的变化包含很多明显的周期性规律。比如：建筑施工在冬季的月份当中将减少，旅游人数将在夏季达到高峰，等等，这种规律是由于季节性（seasonality）变化或周期性变化所引起的。对于这各时间数列我们可以说，变量同它上一年同一月（季度，周等）的值的关系可能比它同前一月的值的相关更密切。
一、 季节性时间序列
1．含义：在一个序列中，若经过S个时间间隔后呈现出相似性，我们说该序列具有以S为周期的周期性特性。具有周期特性的序列就称为季节性时间序列，这里S为周期长度。
注：①在经济领域中，季节性的数据几乎无处不在，在许多场合，我们往往可以从直观的背景及物理变化规律得知季节性的周期，如季度数据（周期为4）、月度数据（周期为12）、周数据（周期为7）；②有的时间序列也可能包含长度不同的若干种周期，如客运量数据（S=12，S=7）
2．处理办法： （1）建立组合模型；
（1） 将原序列分解成S个子序列（Buys-Ballot 1847）
周周期点 期 1 2 3 …… S 总和 T*1 T*2 T*3 T*n T T/N 平均 A*1 A*2 A*3 A*1n T/S T/SN 1 2 3 …… n 总和 平均
X1 X2 X3 XS …… XS+1 XS+1 XS+3 X2S …… XS+1 X2S+2 X2S+3 X3S …… ……………………………………………………………………………… X(n-1)S+1 X(n-1)S+2 X(n-1)S+3 XnS …… T1* A1* T2* A2* T3* A3* …… …… TS* AS* 对于这样每一个子序列都可以给它拟合ARIMA模型，同时认为各个序列之间是相互独立的。但是这种做法不可取，原因有二：（1）S个子序列事实上并不相互独立，硬性划分这样的子序列不能反映序列?xt?的总体特征；（2）子序列的划分要求原序列的样本足够大。
启发意义：如果把每一时刻的观察值与上年同期相应的观察值相减，是否能将原序列的周期性变化消除？（或实现平稳化），在经济上，就是考查与前期相比的净增值，用数学语言来描述就是定义季节差分算子。
定义：季节差分可以表示为Wt??SXt?(1?BS)Xt?Xt?Xt?S。
二、 随机季节模型
1．含义：随机季节模型，是对季节性随机序列中不同周期的同一周期点之间的相关关系的一种拟合。 AR（1）：Wt??1Wt?S?et?(1??1BS)Wt?et，可以还原为：(1??1BS)?SXt?et。 MA（1）：Wt?et??1et?S?Wt?(1??1BS)et，可以还原为：?SXt?(1??1BS)et。 2．形式：广而言之，季节型模型的ARMA表达形式为
U(BS)Wt?V(BS)et （1）
?Wt??d(平稳)SXt?这里，?U(BS)?1?U1BS?U2B2S???UPBpS。
?V(BS)?1?VBS?VB2S???VBqS12q?注：（1）残差et的内容；（2）残差et的性质。
§2 乘积季节模型
一、 乘积季节模型的一般形式
由于et不独立，不妨设et~ARIMA(n,d,m)，则有
?(B)?det??(B)at （2）
式中，at为白噪声；?(B)?1??1B1??2B2????nBn；?(B)?1??1B1??2B2????mBm。 在（1）式两端同乘?(B)?d，可得：
D?(B)U(BS)?dWt??(B)U(BS)?d?SXt?V(BS)?(B)?det?V(BS)?(B)at （3）
DXt表示不同周期的同一周期点上的相关关系；?(B)?dXt则表示同一周期内注：（1）这里U(BS)?S不同周期点上的相关关系。二者的结合就能同时刻划两个因素的作用，仿佛是显像管中的电子扫描。
（2）从结构上看，它是季节模型与ARIMA模型的结合形式，称之为乘积季节模型，阶数用
(n,d,m)?(p,D,q)S来表示。
（3）将乘积季节模型展开便会得到一般的ARIMA模型。例如：(1?B)Xt?(1??1B)(1?V1BS)at，可以展开为(1?B)Xt?(1??1B?V1BS??1V1BS?1)at，此时也有Xt~ARIMA(0,1,S?1)，并且其中有许多系数为0。但其参数并不独立。所以尽管模型的阶数可能很高，然而真正独立的参数不多，我们称这类模型为疏系数模型（带有一定约束条件的疏系数模型）。
二、 常用的两个模型
1．(1?B12)(1?B)Xt?(1??1B)(1??12B12)at 类型为：(0,1,1)?(0,1,1)S 2．(1?B12)Xt?(1??1B)(1??1212B)at 类型为：(0,0,1)?(0,1,1)S
三、 乘积季节模型与ARIMA模型的关系
我们可以将乘积季节模型
?(B)U(BS)?dWDt??(B)U(BS)?d?SXt?V(BS)?(B)?det?V(BS)?(B)at 展成ARIMA模型形式。
例如，(1?B)yt?(1??1B)(1?V1BS)at是(0,1,1)?(0,0,1)季节模型，将式子的右边展成：
(1?B)yS?1t?(1??1B?VS1B??1VS?11B)a1???*jt?(jB)at j?1这是一个(0,1,S?1)阶ARIMA模型，但是其参数不是独立的，有下面的约束关系
?***,?**1??1,?2????S?1?0S?V1,?S?1???1V1 尽管模型的阶数很高，然而真正独立的参数并不多，有许多参数取值为零
（4） （5） （3）
（6）
7）
（§3 季节性时间序列模型的建立
季节性时间序列模型的建立也包含这样几个过程：模型的识别、模型的定阶、参数估计、诊断检验等。基本上采用的是BOX-JENKINS方法，也就是立足于考察数据序列的样本自相关、偏自相关函数。
如果样本自相关、偏自相关函数既不截也不拖尾，而且也不呈线性衰减趋势，相反地，在相应于周期S的整数倍点上，自相关（或偏自相关）函数出现绝对值相当大的峰值并呈现振荡变化，我们就可以判明原数据序列适合于乘积季节模型。
一、 季节性MA模型的自相关函数
?Xt?是一个季节性时间序列，如果Xt~MA(1)S，则
Xt?(1??SBS)et et不平稳，设et~MA(1)，则
et?(1??1B)at 我们就能得到一个乘积季节模型
Xt?(1??1)(1??SBS)at Xt?at??1at?1??Sat?S??1?Sat?S?1 当S=12时，有
Xt?at??1at?1??12at?12??1?12at?13~MA(13) 可以计算出：
?(1??220?1)(1??12)?2 ?(????21?11?12)?2
?2??3????10?0 ?13??1?12
?14??15???0
因此有：
???1?11??2?0 1?2??3????10?0
??)(1??211??112[(1??2112)]?0
?12???121??2?0 12???2111?12[(1??21)(1??12)]?0
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
?14??15???0
注：（1）?1为et?(1??1B)at的一阶自相关系数，?12为Xt?(1??SBS)et的一阶自相关系数； （2）?1与?12比较容易求解； （3）可以推广到更一般的形式。
二、 季节性AR模型的偏自相关函数 ?Xt?是一个季节性时间序列，如果Xt~AR(1)S，则
(1??SBS)Xt?et （11）
et不平稳，设et~AR(1)，则
(1??1B)et?at （12）
我们就能得到一个乘积季节模型
(1??1B)(1??SBS)Xt?at （13） (1??1B??SBS??1?SBS?1)Xt?at （14）
当S=12时，有
Xt??1Xt?1??12Xt?12??1?12Xt?13?at~AR(13) （15）
可以根据YULE-WORK方程求出偏自相关函数。
注：（1）根据它在周期点上的偏自相关函数的截尾性和拖尾性识别模型的类型和定阶； （2）可以推广到更一般的形式。
三、 季节性时间序列模型的建模方法
利用B-J建模方法：判别周期性，即S的取值；根据SACF和SPACF提供的信息识别模型类型和阶数，最后进行估计和诊断检验。
具体做法：
第一步：对时间序列?Xt?进行普通差分?和季节差分?S，以得到平稳的序列?Wt?，Wt??d?DSXt； 第二步：计算差分后序列的SACF和SPACF，选择一个暂定的模型；
第三步：由SACF和SPACF函数的值，利用矩估计法得到的值作为初始值，对模型参数作最小二乘估计；
第四步：模型的诊断与检验。