2017-2018学年度第二学期期末学业水平诊断
高二理科数学参考答案
一、选择题
A B D D C C B C C D A A 二、填空题
13. 136 14. 0.5 15.0.3108 16.②④ 三、解答题
17. 解：（1）令x?1可得， (1?2)2n?a0?a1?a2?令x??1可得， (1?2)2n?a0?a1?a2?两式相加可得：2(a0?a2?所以a0?a2??a2n?9n，…………………1分
?a2n?(?1)2n?1，…………………2分
?a2n)?9n?1，
9n?1?a2n?； ……………………………………………………4分
2rrrk（2）因为Tr?1?C10，………………………………5分 (2x)r?2rC10x，所以ak?2kC10kk?1?2kC10?ak?ak?1?2k?1C101922?k?设ak最大，则有?，即?kk，解得，………8分 k?1k?133?ak?ak?1?2C10?2C10因为k?0,1,2,,2n，所以k?7，
7此时ak的最大值为27C10?15360. ……………………………………………10分
18. 解：（1）填表如下： 看保质期 不看保质期 总计 根据列联表中的数据，可得
男 8 10 18 女 14 4 18 总计 22 14 36 ……………………………………………2分
36?(8?4?14?10)2k??4.208?3.841……………………………………………4分
22?14?18?18故有95%的把握认为“性别”与“是否看食品保质期”有关系. …………………5分 （2）由题意可知，?的所有可能取值为0,1,2,3， ……………………………6分
3021C10C4C10C41804512030，P(??1)?， P(??0)?3????3C1436491C1436491高二理科数学参考答案（第1页，共5页）
1203C10C4C10C4601541，， …………………10分 P(??2)???P(??3)???33C1436491C1436491
3 0 1 2 3045151 P 919191913045151786?1??2??3???. …………………………12分 所以E(?)?0?9191919191719. 解：（1）由题意可知x?40,y?55， …………………2分
10400?6?40?55??1.6， 代入公式可得，b?11350?6?40?40? a?55?(?1.6)?40?119， …………………………………………4分
所以线性回归方程为y??1.6x?119， 令x?40可得，y??1.6?40?119?55，
故年龄为40岁人群的骑乘人数大致为55人. …………………………………………6分 （2）由题意可知X的所有可能取值为2,3,4,5,6，其相应概率为：
11111111115P(X?2)???，P(X?3)?2???，P(X?4)???2???，
224233332618111111P(X?5)?2???，P(X?6)???，…………………………………10分
3696636所以X的分布列为： X 2 3 4 5 6 11511 P 43189361151110E(X)?2??3??4??5??6??. …………………………………12分
431893632xx20. 解：（1）当a??1时，f(x)?(?x?x?1)e?2，f?(x)??(x?1)(x?2)e，
令f?(x)?0，可得x?1或x??2， ……………………………2分 则有：
x f?(x) f(x) ?3 (?3,?2) ?2 0 极小值(?2,1) 1 0 极大值e?2 (1,2) 2 ? 减 ? 增 ? 减 ?11e?3?2 ?5e?2 ?2?e2?2 ……………………………4分
因为?11e?2?e?2，?5e?2??e?2，
所以fmax(x)?e?2 ，fmin(x)??e?2.…………………………………………6分
高二理科数学参考答案（第2页，共5页）
2?3?22
x2x2x（2）f?(x)?(2ax?1)e?(ax?x?1)e?[ax?(2a?1)x?2]e
x ?(ax?1)(x?2)e ………………………………………………………7分
当a?112x时，f?(x)?(x?2)e?0，函数在(??.??)上单调递增； 22111时，???2，当x?(??,?)或x?(?2,??)时，f?(x)?0，函数2aa1,?2)时，f?(x)?0，函数单调递减； a当0?a?单调递增，当x?(?当a?111时，???2，当x?(??,?2)或x?(?,??)时，f?(x)?0，函数单2aa1a调递增，当x?(?2,?)时，f?(x)?0，函数单调递减； …………11分
综上所述，当0?a?111时，f(x)在(??,?)，(?2,??)上单调递增，在(?,?2)2aa上单调递减；当a?11时，f(x)在(??.??)在上单调递增；当a?时，f(x)在2211(??,?2)，(?,??)上单调递增，在(?2,?)上单调递减. …………12分
aa21. 解：（1）由题意可知，“运动型”的概率为
153?，……………………………1分 40834015434且XB(4,) ,则P(X?3)?1?C4()?，……………………………3分
88409633E(X)?4??. ……………………………4分
82（2）由题意可知，Y的所有取值为2,3,4,5， ……………………………5分
相应的概率分别为：
12111111220C3C2C2C11C32C2C2C1C3C2C2C11,P(Y?2)??P(Y?3)???， 323232C5C35C5C3C5C32
30111203020C3C2C2C1C32C2C2C1C3C2C2C141，，………9分 P(Y?4)???P(Y?5)??323232C5C3C5C315C5C330所以Y的分布列为：
高二理科数学参考答案（第3页，共5页）
Y P 2 1 53 1 24 4 155 1 30114147E（Y）?2??3??4??5??.……………………………………………12分
5215301522. 解：（1）由题意可知，函数f(x)的定义域为(0,??)，
1ax2?x?af?(x)??1?2?，……………………………………………………1分 2xxx因为函数f(x)在[1,??)为增函数，所以f?(x)?0在[1,??)上恒成立，
等价于x?x?a?0在[1,??)上恒成立，即a?(x2?x)min，……………………3分 因为x?x?(x?)?221221?2，所以a?2， 4故a的取值范围为a?2.……………………………………………………………5分 （2）可知g(x)?xlnx?x?a?(a?1)x?x?xlnx?ax?x?a，
所以g?(x)?lnx?2ax，………………………………………………………………6分 因为g(x)有两极值点x1,x2，所以lnx1?2ax1,lnx2?2ax2，
22欲证x1?x2?e3，等价于要证：ln(x1?x2)?lne3?3，即lnx1?2lnx2?3，………7分
222所以ax1?2ax2?33，因为0?x1?x2，所以原式等价于要证明：a?，① 22x1?4x2
lnx2xx1由lnx1?2ax1,lnx2?2ax2，可得ln2?2a(x2?x1)，则有a?，②…8分
x1（2x2?x1）xx23(2?1)x3(x2?x1)x1x13?由①②原式等价于要证明：，即证ln2?， ?x2x1x1?2x2x2?x1x1?2x21?2x1ln令t?3(t?1)x2，则t?1，上式等价于要证lnt?，…………………………10分
1?2tx1高二理科数学参考答案（第4页，共5页）
令h(t)?lnt?3(t?1)13(1?2t)?6(t?1)(t?1)(4t?1)?，则h?(t)?? 221?2tt(1?2t)t(1?2t)因为t?1，所以h?(t)?0，所以h(t)在(1,??)上单调递增，
因此当t?1时，h(t)?h(1)?0，即lnt?3(t?1).
1?2t2所以原不等式成立，即x1?x2?e3.…………………………………………………12分
高二理科数学参考答案（第5页，共5页）