中学生物理竞赛系列练习题
第六章 静电场
1、如图所示，半径为R的圆环均匀带电，电荷线密度为λ，圆心在O点，过圆心跟环面垂直的轴线上有P点，PO = r ，以无穷远为参考点，试求P点的电势UP 。
【模型分析】这是一个电势标量叠加的简单模型。先在圆环上取一个元段ΔL ，它在P点形成的电势
ΔU = k环共有
??LR?r22
2?R段，各段在P点形成的电势相同，而且它们是标量叠加。 ?L【答案】UP =
2?k?RR2?r2
2、如图所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别为R1和R2 ，带有净电量+q ，现在其内部距球心为r的地方放一个电量为+Q的点电荷，试求球心处的电势。
【解析】由于静电感应，球壳的内、外壁形成两个带电球壳。球心电势是两个球壳形成电势、点电荷形成电势的合效果。
根据静电感应的尝试，内壁的电荷量为－Q ，外壁的电荷量为+Q+q ，虽然内壁的带电是不均匀的，根据上面的结论，其在球心形成的电势仍可以应用定式，所以…
【答案】Uo = k
QQQ?q － k + k 。 rR1R2
3、如图所示，三个带同种电荷的相同金属小球，每个球的质量均为m 、电量均为q ，用长度为L的三根绝缘轻绳连接着，系统放在光滑、绝缘的水平面上。现将其中的一根绳子剪断，三个球将开始运动起来，试求中间这个小球的最大速度。
〖解〗设剪断的是1、3之间的绳子，动力学分析易知，2球获得最大动能时，1、2之间的绳子与2、3之间的绳子刚好应该在一条直线上。而且由动量守恒知，三球不可能有沿绳子方向的速度。设2球的速度为v ，1球和3球的速度为v′，则
动量关系 mv + 2m v′= 0
q2q2q2112
能量关系 3k = 2 k + k + mv + 2mv?2
222LLL解以上两式即可的v值。 〖答〗v = q
2k 。 3mL4、如图所示，一平行板电容器，极板面积为S ，其上半部为真空，而下半部充
满相对介电常数为εr的均匀电介质，当两极板分别带上+Q和?Q的电量后，试求：（1）板上自由电荷的分布；（2）两板之间的场强；（3）介质表面的极化电荷。
【解说】电介质的充入虽然不能改变内表面的电量总数，但由于改变了场强，故对电荷的分布情况肯定有影响。设真空部分电量为Q1 ，介质部分电量为Q2 ，显然有
Q1 + Q2 = Q
两板分别为等势体，将电容器看成上下两个电容器的并联，必有
U1 = U2 即
Q1QQQ2
= 2 ，即 1 =
?r?S/2S/2C1C24?kd4?kd解以上两式即可得Q1和Q2 。 场强可以根据E =
U关系求解，比较常规（上下部分的场强相等）。 d上下部分的电量是不等的，但场强居然相等，这怎么解释？从公式的角度看，E = 2πkσ（单面平板），当k 、σ同时改变，可以保持E不变，但这是一种结论所展示的表象。从内在的角度看，k的改变正是由于极化电荷的出现所致，也就是说，极化电荷的存在相当于在真空中形成了一个新的电场，正是这．．．．个电场与自由电荷（在真空中）形成的电场叠加成为E2 ，所以
E2 = 4πk（σ ? σ′）= 4πk（
Q2Q? ? ） S/2S/2请注意：①这里的σ′和Q′是指极化电荷的面密度和总量；② E = 4πkσ的关系是由
两个带电面叠加的合效果。
【答案】（1）真空部分的电量为场强均为
8?kQ??1 ；（3）rQ 。
(1??r)S?r?11?Q ，介质部分的电量为rQ ；（2）整个空间的1??r1??r5、一细直杆，长为L，水平放置，杆上均匀带电，其电量为q.试求：
（1） 在杆的延长线上距杆的中点r处的场强； （2） 在杆的垂直平分线上距杆的中点r处的场强。
解：（1）选取坐标如图一所示，以杆的中点为原点。在杆上任取一电荷元，dq?原点为x.此电荷元在P点产生的场强为
qdx,距LdE?dq1q?dx, 224??0(r?x)4??0L(r?x)1此场强的方向沿x轴的正向。由于各电荷元在P点产生的场强的方向相同，所以整个带电直杆在P点产生的场强
E??dE??L2L?2qdx
4??0L(r?x)21?q111q[?]?. 2LL4??0L4??02Lr?r?r?2241方向沿直杆向右。如果P点在杆的左侧，则场强
E???14??02qL2r?4?
. 负号表示场强E?沿x轴的负方向，即沿直杆向左。
（2）选取坐标系如图二所示。直杆上任一电荷元dq?qdx在P点产生的场强 LdE?dq1qdx?, 22224??0r?x4??0L(r?x)1?将dE分成x,y两个分量。由于对称性，x方向的分量相互抵消，所以Ex?0。而y
方向的分量
dEy?dEsin??1qdxr?4??0L(r2?x2)(r2?x2)3/21qrdx?,223/24??0L(r?x)于是，整个带电直杆在P点的总场强为
E??dEy??11L2L?2qrdx4??0L(r2?x2)3/2L1qrx?[22]221/2?L4??0Lr(r?x)2?qr4??0L1.2L(r2?)3/24
方向垂直于棒向上。如果P点在杆的下方，则场强沿y轴的负向，即垂直于棒向下。
6、如图一所示，两个平行放置的均匀带电圆环，它们的半径为R，电量分别为+q和-q,其间距离为L，且L>>R.以两环的对称中心为坐标原点。
(1)试求垂直于环面的x轴上的电势分布；
(2)证明：当x>>R时，V?qL;
4??0x2(3)试求x轴上远处（即x>>R）的场强分布。
解：（1）已知带电圆环轴线上电势分布公式为