满足要求。若相位裕度不满足要求，重复第3）步，减小?1或者增大?2，直到满足要求。
由上例可知，超前校正可以提高系统穿越频率?c，从而提高系统频带宽度。
6．4 串联滞后校正
本节首先介绍串联滞后校正的特点，然后介绍采用频率响应法确定滞后校正参数的方法。
6．4．1滞后校正网络
滞后校正就是利用滞后校正网络的或PI控制器的高频幅值衰减特性，使校正后系统截至频率下降，从而使系统获得足够的相位裕度。I控制器和PI控制器都属于滞后网络，而常用的滞后网络的为近似PI控制器，其传递函数为
Gc(s)?其频率响应为
1?aTs (a?1)
1?Ts （6－18）
Gc(j?)?其相频特性为
1?jaT? (a?1)
1?jT? （6－19）
?Gc(j?)?tg?1aT??tg?1T? (a?1)
其Bode图如图6－16所示
dB 20lgGc （6－20）
0 10lga 20lga 0 ?1/T ?m 1/aT ? ?20dB/dec ?Gc 1/T ?m 1/aT ? ?m ?90? 图6－16 近似PI控制器的频率响应图
结合图6－16和（6－12）式可以看出，当?由0增加到??时，?m会在?m处出现极值，由d?(?)/d??0可以求得
?m?1aT （6－21）
?m??Gc(j?)?tg?11?a2a?sin?11?a 1?a （6－22）
可以看出，滞后校正网络的?m和?m与超前网络具有几乎相同的形式。
6．4．2基于频率响应法的串联滞后校正
滞后校正网络可以改变控制系统中频段和高频段的幅频特性，，通常采用近似PI控制器进行超前校正。由图6－14可以看出，近似PI控制器在??1/?时的幅频特性为0dB，因此它不会改变待校正系统的低频段特性。当1/????1/T时，近似PI控制器斜率为－20dB/dec。而在??1/T时的幅频特性斜率为0，因此它不会改变待校正系统高频段斜率。利用近似PI控制器的在中、高频段的衰减作用，使校正后系统的幅频特性曲线以－20dB/dec的斜率穿越0dB线，同时保持低频段的Bode图不变。引入近似PI控制器，可以改善系统的动态性能指标，同时不改变系统的稳态性能。利用近似PI控制器进行串联滞后校正应用在当待校正系统的期望穿越频率附近的幅频特性斜率为－20dB/dec，而该频段的开还幅频特性大于0dB，并且开还Bode图的低频段满足要求，即开还放大系数和系统型别已满足要求时。需要注意的是，由于滞后网络引入了负的相角，在利用滞后网络对系统进行校正时，应
?离?m足够远，一般取校正后的系统的穿越频率?c?为该使校正后的系统穿越频率?c?10~20?器进行滞后校正的步骤如下：
1) 绘制系统固有部分的开环幅频特性，根据稳态性能指标确定开环增益K。
1?处的相位角?G(j?c?)??5?~?3?。利用近似PI控制，此时滞后网络在?caT2) 根据确定好的开环增益K，计算系统固有部分的相位裕度?和穿越频率?c。
?。 3) 根据动态性能指标的要求，确定系统校正后的相位裕度??和穿越频率?c?的值确定参数a。滞后网络将待校正系统的幅频特性20lgG0(j?)向下平移4) 根据?c?处的幅值为0dB。所以可以由下式计算20lga，使得校正后系统的幅频特性曲线在?c出a的值：
?)?20lgG0(j?c?)?20lgGc(j?c?)?20lgG0(j?c?)?20lga?0（6－23） 20lgGe(j?c???确定参数T。通常取?c1?1?1?计算出T的值。 ~，故可由?c?1020aT???，?，5) 验证校正后的相位裕度??是否满足要求。若不满足要求，则重新选择?c通常减小?c重复步骤4）和5）直至满足要求。
例6－3 设待校正系统的传递函数为
G0?要求满足性能指标： 1) 系统型别v?1；
?12) 开还增益Kv?25s；
Kv
s(0.1s?1)(0.2s?1)??2.5rad/s； 3) 穿越频率?c4) 相位裕度???40?。
试用近似PI控制器对系统进行串联滞后校正。
解
1) 从待校正系统的传递函数可以看出，系统已经满足了型别为1的要求。按开环增益的要
?1求，取Kv?25s，绘制待校正系统的Bode图如图6－17所示。可以得出，系统穿越
频率?c?10.8rad/s，相位裕度???22.4?。
??2.5rad/s，可以计算出待校正系统在该频率处的相位2) 由系统对穿越频率的要求?c裕度为?(2.5)?49.4，大于性能指标要求的???40?，故可以采用滞后校正的方法。 3) 根据式（6－23）
20lgG0(j2.5)?20lga?0
得到
a?0.1
4) 取转折频率
? 1/aT?(1/10)?c得到
T?40s
故滞后网络的传递函数为
Gc?校正后系统的传递函数为
1?4s
1?40sGe(s)?Gc(s)?G0(s)?1?4s25?
1?40ss(0.1s?1)(0.2s?1)??2.5rad/s代入到相位裕度得到 将?c??180??90??tg?1(0.1?2.5)?tg?1(0.2?2.5)?tg?1(40?2.5)?tg?1(4?2.5)
?44.25?
满足系统性能指标要求，故该方案可行。
从上例可以看出，滞后校正会降低系统穿越频率?c，从而降低频带宽度。
6．5 串联滞后超前校正
本节首先介绍串联滞后超前校正的特点，然后介绍采用频率响应法确定滞后超前校正参数的方法。
6．5．1 滞后超前校正网络
滞后超前校正具有滞后校正和超前校正的特点，常用的滞后超前校正网络的传递函数为
1Gc?aT1s?1bT2s?1?1??1T1s?1T2s?1s?1?s?11?31s?1(a?1,b?1) s?1（6－24）
?2dB 20lgGc ?40 20lgab ?1 ?20dB/dec ?Gc ?2 ?3 ?4 20dB/dec ? 0 ?? 图6－17 滞后超前网络频率响应图
式中，?1?1/aT1，?2?1/T1，?3?1/bT2，?4?1/T2，可以看出
aT1s?1为滞后
T1s?1网络，而
bT2s?1为超前网络，通常T1?T2，?1??2??3??4。绘制滞后超前网络的
T2s?1Bode图如图6－17所示，可见滞后超前网络不改变系统幅频特性中的低频段和高频段斜率，而在?3与?4之间可以为系统提供正的相位。
6．5．2 基于频率响应法的串联滞后超前校正
串联滞后超前校正结合滞后校正和超前校正的特点。串联超前校正可以提高系统通频带宽度，但是会降低系统抑制高频噪声的能力。而串联滞后校正则会降低系统通频带宽度，但是会降低系统响应速度。而串联滞后超前校正既可以有效提高系统的阻尼程度与响应速度，又可大幅度增加其开环增益，既提高系统的动态指标，也提高系统的稳态指标。串联滞后超前校正的设计步骤如下：
1) 根据稳态性能指标要求确定开环增益K。
2) 根据确定好的开环增益K，计算系统固有部分的相位裕度?和穿越频率?c。 3) 在待校正系统幅频特性上，选择斜率从－40dB/dec变为-20dB/dec的交接频率作为滞后
超前网络超前部分的交接频率?3。这种选择的方法，可以降低校正后系统的阶次，且保证中频段斜率为-20dB/dec，并具有较宽的带宽。
?，根据超前校正方法计算出?4。并根据滞4) 根据性能指标要求，选取校正后截止频率?c后校正的方法计算出滞后网络的参数a和T1。 5) 验证校正后系统的各项性能指标。
例 6－4 设待校正系统的传递函数为
G0(s)?K
s(s?1)(0.1s?1)设计串联滞后超前网络使校正后系统满足性能指标： 1) 开环放大系数K?60
??3.5rad/s 2) 穿越频率?c3) 相位裕度???45?
解
1) 取K?60，绘制系统幅频特性图如图6－16中ABCD所示。可以计算出待校正系统的
穿越频率?c?7.7rad/s，从而计算处待校正系统的相位裕度
??180??90??tg?1(1?7.7)?tg?1(0.1?7.7)??30.2?
显然不满足系统性能指标的要求。
?/?3?3.52/1?12.25rad/s，观察系统Bode图，2) 选取?3?1rad/s，得到?4??c待校正系统幅频特性由-40dB/dec变为-60dB/dec的交接频率为10rad/s，为简化校正
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