第3章《代数式》常考题集（13）：3.5 探索规律 填空题 1、观察下列图形（每幅图中最小的三角形都是全等的），请写出第n个图中最小的三角形的个数有（）个． 1. 规律型：图形的变化类． 专题：规律型． 分析：根据图示找出规律即可解题． 解答：解：根据图示可知，第1个图有1个小三角形，第2个图有4个小三角形，第3个图有16=42个小三角形，第4个图有64=43个小三角形，所以第n个图中最小的三角形的个数有4n-1． 故答案为4n-1． 点评：主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 2、将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表．则an=（）．（用含n的代数式表示） 所剪次数 正三角形个数
1 4 2 7 3 10 4 13 … … n an 1
2.
从表格中的数据，不难发现：多剪一次，多3个三角形．即剪n次时，共有4+3（n-1）=3n+1．
解答：解：故剪n次时，共有4+3（n-1）=3n+1．
点评：此类题的属于找规律，从所给数据中，很容易发现规律，再分析整理，得出结论．
3、如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面．如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有 个．
3.根据给出的四个图形的规律可以知道，组成大正方形的每个小正方形上有一个完整的圆，因此圆的数目是大正方形边长的平方，每四个小正方形组成一个完整的圆，从而可得这样的圆是大正方形边长减1的平方，从而可得若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有102+（10-1）2=181个．
解答：解：分析可得完整的圆是大正方形的边长减1的平方，从而可知铺成一个10×10的
正方形图案中，完整的圆共有102+（10-1）2=181个．
点评：本题难度中等，考查探究图形的规律．本题也只可以直接根据给出的四个图形中计数
出的圆的个数，找出数字之间的规律得出答案． ★★☆☆☆
2
4、下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，…，依次规律，拼搭第8个图案需小木棒
根．
4. 分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．解答：解：分析可得：第1个图形中，有4根火柴；第2个图形中，有4+6=10根火柴；第3个图形中，有10+8=18根火柴；…第8个图形中，共用火柴的根数是4+6+8+10+12+14+16+18=88根．点评：本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力． ★★★☆☆
5、一张长方形桌子需配6把椅子，按如图方式将桌子拼在一起，那么8张桌子需配椅子
把．
5. 此题主要是结合图形发现规律：多一张桌子，则多2把椅子．
解答：解：观察图形发现：多一张桌子，则多2把椅子．所以8张桌子需要6+2（8-1）=20
把椅子．
点评：此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．
★★☆☆☆
6、如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有
3
根火柴棒．（用含n的代数式表示）
6.本题可分别写出n=1，2，3，…，所对应的火柴棒的根数．然后进行归纳即可得出最终答案．
解答：解：依题意得：n=1，根数为：4=2×1×（1+1）；
n=2，根数为：12=2×2×（2+1）； n=3，根数为：24=2×3×（3+1）； …
n=n时，根数为：2n（n+1）．
点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找
出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
★☆☆☆☆
7、观察下列图形的构成规律，根据此规律，第8个图形中有
个圆．
7. 观察图形可知，每幅图可看成一个正方形加一个圆，利用正方形的面积计算可得出结果．
解答：解：第一个图形有2个圆，即2=12+1；
第二个图形有5个圆，即5=22+1； 第三个图形有10个圆，即10=32+1； 第四个图形有17个圆，即17=42+1；
所以第8个图形有82+1=65个圆．故应填65．
点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找
出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
4
★☆☆☆☆
8、观察表一，寻找规律．表二，表三分别是从表一中选取的一部分，则a+b的值为
8. 规律型：图形的变化类．专题：图表型．分析：每一竖行相隔的数是相同的，每相邻两个横行之间相隔的数也相隔1．解答：表二从竖行看，下边的数应比上面的数大3，
∴a=14+3=17．表三从竖行看，下边的数比上边的数大6，那么后面那行下边的数就该比上边的数大7．∴b=13+7=20
∴a+b的值为37．点评：关键是通过归纳与总结，得到其中的规律． ★☆☆☆☆
9、把边长为3的正三角形各边三等分，分割得到图①，图中含有1个边长是1的正六边形； 把边长为4的正三角形各边四等分，分割得到图②，图中含有3个边长是1的正六边形； 把边长为5的正三角形各边五等分，分割得到图③，图中含有6个边长是1的正六边形； …依此规律，把边长为7的正三角形各边七等分，并按同样的方法分割，得到的图形中含有 （）个边长是1的正六边形．
考点：规律型：图形的变化类． 专题：规律型．
分析：分割含有边长是1的正六边形，其实你可以看个底部，要数六边形，可以看出三角
形的三个顶点小三角形是不包含在内的，一开始你可以忽略它们，而底部每个小三角形都由
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