习题
第一章人寿保险
一、n年定期寿险
【例4.1】设有100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为3%。
I、如果各年预计死亡人数分别为1、2、3、4、5人，计算赔付支出； II、根据93男女混合表，计算赔付支出。 解：I
表4–1 死亡赔付现值计算表
年份 （1） 1 2 3 4 5 合计
根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：
年内死亡人数 （2） 1 2 3 4 5 --- 赔付支出 （3）=1000*(2) 1000 2000 3000 4000 5000 15000 折现因子 （4） 赔付支出现值 （5）=(3)*(4) 970.87 1885.19 2745.43 3553.95 4313.04 13468.48 1.03?1 1.03?2 1.03?3 1.03?4 1.03?5 --- 1000?(1?1.03?1?2?1.03?2?3?1.03?3?4?1.03?4?5?1.03?5)?13468.48（元）
则每张保单未来赔付的精算现值为134.68元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。 解：II
表4–2 死亡赔付现值计算表
年份 （1） 1 2 3 年内死亡人数 （2） 1000*q40=1.650 1000*1|q40=1.809 1000*2|q40=1.986 赔付支出 （3）=1000*(2) 1650 1809 1986 折现因子 （4） 赔付支出现值 （5）=(3)*(4) 1601.94 1705.16 1817.47 1.03?1 1.03?2 1.03?3 4 5 合计
1000*3|q40=2.181 1000*4|q40=2.391 --- 2181 2391 10017 1.03?4 1.03?5 --- 1937.79 2062.50 9124.86 根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：
10002?(q40?1.03?1?1|q40?1.03?2?2|q40?1.03?3?3|q40?1.03?4?4|q40?1.03?5)?9124.86（元）
则每张保单未来赔付的精算现值为91.25元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。 【例4.2】某人在40岁时投保了10000元3年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。根据93男女混合表计算：
I、单位趸缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III、（总）趸缴纯保费； 解：I、单位趸缴纯保费为，
A140:3|??vk?1?k|q40?(vq40?v21|q40?v32|q40)?(vq40?v2p40q41?v32p40q42)
k?02?[0.00165(1?0.00165)?0.001812(1?0.00165)?(1?0.001812)?0.001993??]
1.051.0521.053?0.00492793（元）。
II、单位赔付现值期望的方差为，
22A140:3|?(A1240:3|11)??v2(k?1)?k|q40?(A40)2?(v2q40?v41|q40?v62|q40)?(A40)2?0.00444265:3|:3|k?01 III、趸缴纯保费为，10000?A40?49.28（元） :3|【例4.3】某人在50岁时投保了100000元30年期定期寿险，利率为8%。假设
lx?1000(1?x)，计算趸缴纯保费。 105150:30|解：趸缴纯保费为，100000A?100000?1.08?(k?1)?kp50?q50?k
k?029其中，kp50?l50?k55?kl?l51?k1??，q50?k?50?k l5055l50?k55?k150:30|故，100000A?100000?1.08?(k?1)?k?02955?k1? 5555?k10000011?(1/1.08)30????20468.70（元）
551.081?(1/1.08)二、终身寿险
【例4.4】某人在40岁时投保了10000元终身寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。根据93男女混合表计算：
I、单位趸缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III、（总）趸缴纯保费； 解：I、单位趸缴纯保费为，
A40??vk?1?k|q40?v?q40?v2?1|q40?v3?2|q40?...?v65?64|q40?0.18853（元）。
k?064II、单位赔付现值期望的方差为，
2A40?(A40)??v2(k?1)?k|q40?(A40)2?0.00191979
2k?064III、趸缴纯保费为，10000?A40?1885.29（元） 三、n年定期生存寿险
【例4.5】某人在40岁时投保了10000元20年定期生存寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。根据93男女混合表计算：
I、单位趸缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III、（总）趸缴纯保费；
1解：I、单位趸缴纯保费为，A40:20?v20?20p40?0.342332（元） |II、单位赔付现值期望的方差为，v2?20?20p40?20q40?0.0313891
1III、趸缴纯保费为，10000?A40:20?3423.32（元） |纯保费+风险附加费用=100?(E(z)?R)?100(0.3423317?0.0213183)?36.365（元） 四、n年定期两全保险
【例4.6】某人在40岁时投保了10000元20年两全寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。根据93男女混合表计算：
I、单位趸缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III、（总）趸缴纯保费；
11解：I、单位趸缴纯保费为，A40:20|?A40?A40:20?0.391722（元） |:20|II、单位赔付现值期望的方差为，Var(z)?Var(z1)?Var(z2)?2E(z1)E(z2)?0.004261 III、趸缴纯保费为，10000?A40:20|?391722（元） 六、延期寿险
【例4.7】某人在40岁时投保了一份寿险保单，死亡年年末赔付，如果在40-60岁死亡，赔付