近世代数课后习题参考答案
第二章 群论
1 群论
1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?
证 不是一个群,因为不适合结合律.
2. 举一个有两个元的群的例子.
证 G?{1,?1} 对于普通乘法来说是一个群.
3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件
4'. G至少存在一个右单位元e,能让ae?a 对于G的任何元a都成立
5'. 对于G的每一个元a,在G里至少存在一个右逆元a?1,能让 aa?1?e 证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由aa?1?e 得a?1a?e 因为由4'G有元a'能使a?1a'?e 所以(a?1a)e?(a?1a)(a?1a')
?[a?1(aa?1)]a'?[a?1e]a'?a?1a'?e 即 aa?e
(2) 一个右恒等元e一定也是一个左恒等元,意即 由 ae?a 得 ea?a ea?(aa?14,5来作群的定义:
''?1)a?a(aa)?ae?a
?1 即 ea?a
这样就得到群的第二定义. (3) 证 ax?b可解 取x?ab a(ab)?(aa?1?1?1)b?be?b
这就得到群的第一定义.
反过来有群的定义得到4,5是不困难的.
''2 单位元,逆元,消去律
1. 若群G的每一个元都适合方程x2?e,那么G就是交换群.
证 由条件知G中的任一元等于它的逆元,因此对a,b?G有ab?(ab)?1?b?1a?1?ba.
2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.
证 (1) 先证a的阶是n则a?1的阶也是n.an?e?(a?1)n?(an)?1?e?1?e
若有m?n 使(a?1)m?e 即 (am)?1?e因而 am?e?1 ?am?e 这与a的阶是n矛盾.?a的阶等于a?1的阶 (2)
的阶大于2, 则a?a?1 若 a?a?1?a2?e 这与a的阶大于2矛盾
(3) a?b 则 a?1?b?1 总起来可知阶大于2的元a与定是偶数
3. 假定G是个数一个阶是偶数的有限群,在G里阶等于2的元的
个数一定是奇数.
证 根据上题知,有限群G里的元大于2的个数是偶数;因此阶
?2的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶 ?2的元的个数一定是奇数.
a?双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一
4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的.
证 a?G
故 a,a2,?,am,?,an,??G
由于G是有限群,所以这些元中至少有两个元相等: a?a (m?n) 故 an?m?e n?m是整数,因而a的阶不超过它.
mn
4 群的同态
??? 假定在两个群G和G的一个同态映射之下,a?a，a和a的阶是不是一定相同? 证 不一定相同 例如 G?{1,? G?{1}
?1?i3?1?i3,} 22? 对普通乘法G,G都作成群,且?(x)?1(这里x是
?G的任意元,1是G的元)
?由 ?可知 G∽G 但
?1?i3?1?i3,的阶都是3. 22而1的阶是1.
5 变换群
1. 假定?是集合的一个非一一变换,?会不会有一个左逆元??1,使得??1????
证 我们的回答是回有的A?{1,2,3,?}
?1: 1→1 ?2 1→1
2→1 2→3 3→2 3→4 4→3 4→5 … …
?显然是一个非一一变换但 ??1???
2. 假定A是所有实数作成的集合.证明.所有A的可以写成x?ax?b,a,b是有理
数,a?0形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群? 证 (1) ?: x?ax?b ?: x?cx?d
??: x?c(ax?b)?d?cax?cb?d ca,cb?d是有理数 ca?0 ? 是关闭的.
(2) 显然时候结合律
(3) a?1 b?0 则 ?: x?x (4) ?: ax?b ??1?1:x?1ax?(?ba)
而 ????所以构成变换群.
又 ?1: x?x?1 ?2: x?2x ?1?2: x?2(x?1) ?2?1: x?2x?1 故?1?2??2?1因而不是交换群.
3. 假定S是一个集合A的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号?:a?a??(a)
来说明一个变换?.证明,我们可以用?1?2: a??1[?2(a)]??1?2(a)来规定一个S的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说?还是S的单位元.
证 ?1: a??1(a) ?2: a??2(a)
' 那么?1?2: a??1[?2(a)]??1?2(a) 显然也是A的一个变换. 现在证这个乘法适合结合律:
(?1?2)?3:a?(?1?2)[?3(a)]??1[?2[?3(a)]] ?1(?2?3):a??1[?2?3(a)]??1[?2[?3(a)]] 故 (?1?2)?3??1(?2?3) 再证?还是S的单位元 ?: a?a??(a) ??: a??[?(a)]??(a)?
??: a??[?(a)]??(a) ? ?????
4． 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。 证 设?是是变换群G的单位元
??G ，G是变换群，故?是一一变换，因此对集合 A的任意元a，有A的元b， ?: b?a??(b)
?(a)??(?(a))=??(b)??(b)?a ? ?(a)?a 另证 ?(x)???1?(x) 根据1.7.习题3知??1?(x)?x ??(x)?x
5. 证明实数域上一切有逆的n?n矩阵乘法来说，作成一个群。
证 G={实数域上一切有逆的n?n矩阵}
A,B?G 则BA?1?1是AB的逆
从而 A,B?G
对矩阵乘法来说，G当然适合结合律且E（n阶的单位阵） 是G的单位元。 故 G作成群。
6 置换群
1. 找出所有S3的不能和(231)交换的元.
123123123123 证 S3不能和(231)交换的元有 (132),(213),(321) 这是难验证的.
123
2. 把S3的所有的元写成不相连的循环置换的乘积
解: S3的所有元用不相连的循环置换写出来是: (1), (12), (13), (23), (123), (132). 3. 证明:
(1) 两个不相连的循环置换可以交换 (2) (i1i2?ik)?1?(ikik?1?i1) 证(1) (i1i2?ik)(ik?1?im)=(ikik?1ik?2imim?1?in =((ii1ii2?) 23?i1ik?2ik?3?ik?1im?1?ini1i2?ikik?1?imim?1?ini2i3?ik?1?imim?1?ini1i2?ikik?1ik?2?imim?1?in)(i1?i2?ikik?2ik?3?ik?1im?1?in)
又 (ik?1ik?2?im)(i1i2?ik)=(ii1i1i2?ikik?1ik?2?imim?1?in2?ikik?2ik?3?ik?1im?1?inmm?1n)(i12i23?ik1ikk??11?im) im?1?inii?ii?ii?i =(i1i2?ikik?1ik?2?imim?1?ini2i3?i1ik?2ik?3?ik?1im?1?in),故(i1i2?ik)(ik?1?im)?(ik?1?im)(i1i2?ik)
(2) (i1i2?ik)(ikik?1?i1)?(i1),故(i1i2?ik)?1?(ikik?1?i1).
3. 证明一个K一循环置换的阶是K.
证 设??(i1i2?ik)?(i12i23?ik1) ?2ii?i?(i13?ik2)
k?(i1) ?i1k?1i?i ………… ?k?1ki?i??(i?i)?(i1)
1ki1?ik设h?k, 那么 ?
hk?(i1h?1?)?(i1) ihi?i５． 证明Sn的每一个元都可以写成(12),(13),?,(1n)这n?1个２－循环置换 中的若干个乘积。
证 根据2.6.定理２。Sn的每一个元都可以写成若干不相干循环置换的乘积 而我们又能证明
(i1i2?ik)?(i1i2)(i1i3)?(i1ik)
同时有(i1il)?(1i1)(1il)(1i1), 这样就得到所要证明的结论。
则?
7 循环群 1． 证明 一个循环群一定是交换群。
证G?(a) a，a?G 则aa?a
mnm?n2?(i13?in) ?1i?i?1k?(i1) 1?ik?1i?imn?an?m?aa
nm