实验二： 微分方程模型Matlab求解与分析
一、实验目的
[1] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； [2] 熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令；
[3] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； [4] 熟悉离散 Logistic模型的求解与混沌的产生过程。
二、实验原理
1. 微分方程模型与MATLAB求解
解析解
用MATLAB命令dsolve(‘eqn1’,’eqn2’, ...) 求常微分方程（组）的解析解。其中‘eqni'表示第i个微分方程，Dny表示y的n阶导数,默认的自变量为t。 （1） 微分方程 例1 求解一阶微分方程 (1) 求通解 输入：
dsolve('Dy=1+y^2')
dy?1?y2 dx输出：
ans =
tan(t+C1)
（2）求特解 输入：
dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x')
指定初值为1，自变量为x 输出：
ans =
tan(x+1/4*pi)
1x2y???xy??(x2?)y?04例2 求解二阶微分方程 y(?/2)?2
y?(?/2)??2/?原方程两边都除以x2，得y??? 输入:
dsolve('D2y+(1/x)*Dy+(1-1/4/x^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x')
ans =
- (exp(x*i)*(pi/2)^(1/2)*i)/x^(1/2) +
(exp(x*i)*exp(-x*2*i)*(pi/2)^(3/2)*2*i)/(pi*x^(1/2))
试试能不用用simplify函数化简 输入: simplify(ans)
ans =
2^(1/2)*pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x) （2）微分方程组
例3 求解 df/dx=3f+4g; dg/dx=-4f+3g。
（1）通解:
[f,g]=dsolve('Df=3*f+4*g','Dg=-4*f+3*g')
f =
exp(3*t)*(C1*sin(4*t)+C2*cos(4*t)) g =
exp(3*t)*(C1*cos(4*t)-C2*sin(4*t))
11y??(1?2)y?0 x4x特解：
[f,g]=dsolve('Df=3*f+4*g','Dg=-4*f+3*g','f(0)=0,g(0)=1')
f =
exp(3*t)*sin(4*t) g =
exp(3*t)*cos(4*t)
数值解
在微分方程(组)难以获得解析解的情况下，可以用Matlab方便地求出数值解。格式为:
[t,y] = ode23('F',ts,y0,options)
注意：
? 微分方程的形式：y' = F(t, y)，t为自变量，y为因变量（可以是多个，
如微分方程组）；
? [t, y]为输出矩阵，分别表示自变量和因变量的取值；
? F代表一阶微分方程组的函数名（m文件，必须返回一个列向量，每个
元素对应每个方程的右端）；
? ts的取法有几种，（1）ts=[t0, tf] 表示自变量的取值范围，（2）
ts=[t0,t1,t2,…,tf],则输出在指定时刻t0,t1,t2,…,tf处给出，（3）ts=t0:k:tf,则输出在区间[t0,tf]的等分点给出； ? y0为初值条件；
? options用于设定误差限（缺省是设定相对误差是10^(-3)，绝对误差
是10^(-6)）； ode23是微分方程组数值解的低阶方法，ode45为中阶方法，与ode23类似。
例4 求解一个经典的范得波（Van Der pol）微分方程：
u''?(u2?1)u'?u?0，u(0)?1,u'(0)?0
解 形式转化：令y1?u(t);y2?u'(t)。则以上方程转化一阶微分方程组：
??y2;y2??(1?y12)y2?y1。 y1编写M文件如下，必须是M文件表示微分方程组，并保存，一般地，M文件的名字与函数名相同，保存位置可以为默认的work子目录，也可以保存在自定义文件夹，这时注意要增加搜索路径（File\\Set Path\\Add Folder）
function dot1=vdpol(t,y); dot1=[y(2); (1-y(1)^2)*y(2)-y(1)]; 在命令窗口写如下命令:
[t,y]=ode23('vdpol',[0,20],[1,0]); y1=y(:,1);y2=y(:,2);